Mesures et incertitudes

1Mesurer : vocabulaire et sources de variabilité

Définition. Mesurer une grandeur physique, c’est lui attribuer une valeur numérique assortie d’une unité, au terme d’un processus de mesure (instrument, protocole, opérateur, environnement). La valeur vraie est inconnue par principe : toute mesure en donne une estimation. L’erreur de mesure est la différence, inconnue, entre la valeur mesurée et la valeur vraie.

Propriété — deux types d’erreurs. Les erreurs aléatoires changent de valeur et de signe d’une mesure à l’autre : elles se manifestent par la dispersion des résultats et se réduisent en répétant les mesures. Les erreurs systématiques sont identiques à chaque mesure : elles décalent tous les résultats sans modifier la dispersion. Répéter la mesure ne les élimine pas ; seuls un changement de méthode, un étalonnage ou une correction les suppriment.

Méthode — recenser les sources d’incertitude. Quatre familles : l’opérateur (temps de réaction, lecture d’une graduation, parallaxe, virage coloré) ; l’environnement (température, pression, vibrations) ; les instruments (résolution, calibre, classe, étalonnage, perturbation du circuit mesuré) ; la méthode (modèle simplificateur : frottements négligés, lentille supposée mince, réaction supposée totale).

2Incertitude-type et incertitude élargie

Définition. L’incertitude-type $u(x)$ associée au résultat $x$ d’une mesure estime l’écart-type de la distribution des valeurs qu’on obtiendrait en répétant le processus de mesure. Elle est toujours positive et a la même unité que $x$ ; l’incertitude relative $u(x)/x$ est sans dimension. L’incertitude élargie est $U(x)=k\,u(x)$ ; on écrit alors $x=x_{\text{mes}}\pm U(x)$ en précisant $k$. Sauf mention contraire, une incertitude annoncée est une incertitude-type ($k=1$).

3Évaluation de type A : l’approche statistique

Définition. Une évaluation est de type A lorsqu’elle repose sur l’analyse statistique d’une série de mesures répétées dans les mêmes conditions.

Théorème — incertitude-type de type A. Soit $x_1,\dots,x_n$ les résultats de $n$ mesures indépendantes ($n\geq 5$ en pratique). On calcule la moyenne $\bar x$ et l’écart-type expérimental $s$ ; le résultat retenu est $\bar x$, et l’incertitude-type associée est l’écart-type expérimental de la moyenne :

Remarque. Trois confusions à éviter. $s$ mesure la dispersion des mesures : elle ne diminue pas quand $n$ augmente, elle se stabilise ; $u(\bar x)=s/\sqrt n$ mesure l’incertitude sur la moyenne et décroît en $1/\sqrt n$ — quadrupler le nombre de mesures ne divise l’incertitude que par $2$. Enfin une évaluation de type A ne capte que les erreurs aléatoires : une règle dilatée, un zéro décalé, un titrage lu après l’équivalence donnent des mesures très reproductibles et pourtant fausses.

4Évaluation de type B : tout le reste

Définition. Une évaluation est de type B lorsqu’elle repose non sur une série de mesures, mais sur une information extérieure : notice du constructeur, classe de l’instrument, résolution de l’affichage, tolérance d’une verrerie, expérience de l’opérateur.

Théorème — loi uniforme. Si la seule information disponible est que la valeur se trouve dans un intervalle de demi-largeur $\Delta$ autour de la valeur affichée, sans qu’aucune valeur n’y soit plus probable qu’une autre (loi uniforme), alors

5Composition des incertitudes

Théorème — formule de composition — admise. Soit $y=f(x_1,\dots,x_p)$, les $x_i$ étant mesurés indépendamment avec les incertitudes-types $u(x_i)$. Alors $\displaystyle u(y)^2=\sum_{i=1}^{p}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^{\!2}u(x_i)^2$. Deux cas particuliers suffisent en pratique :

• somme et différence, $y=\alpha\,x_1+\beta\,x_2$ : $\boxed{\ u(y)^2=\alpha^2\,u(x_1)^2+\beta^2\,u(x_2)^2\ }$

• produit, quotient, puissance, $y=k\,x_1^{\,\alpha}\,x_2^{\,\beta}$ ($k$ constante exacte) : ce sont les incertitudes relatives qui se composent,

  $$\boxed{\ \left(\frac{u(y)}{y}\right)^{\!2}=\alpha^2\left(\frac{u(x_1)}{x_1}\right)^{\!2}+\beta^2\left(\frac{u(x_2)}{x_2}\right)^{\!2}\ }$$

6Écriture d’un résultat et chiffres significatifs

Méthode — règle d’écriture. (i) arrondir l’incertitude à un chiffre significatif — ou à deux si le premier est un $1$, et par excès en cas d’hésitation ; (ii) arrondir la valeur mesurée au même rang décimal ; (iii) écrire les deux avec la même puissance de dix et une seule unité : $x=(x_{\text{mes}}\pm u(x))\ \text{unité}$.

Remarque. Trois écritures à savoir produire. $\ell=12{,}345\,6\ {\mathrm{m}}$, $u=0{,}027\,1\ {\mathrm{m}}$ $\rightarrow$ $\ell=(12{,}35\pm 0{,}03)\ {\mathrm{m}}$ ; $U=4{,}832\,1\ {\mathrm{V}}$, $u=0{,}015\,1\ {\mathrm{V}}$ $\rightarrow$ $U=(4{,}832\pm 0{,}015)\ {\mathrm{V}}$ (deux chiffres, l’incertitude commence par $1$) ; $c=5{,}312\times10^{-3}\ {\mathrm{mol}{\cdot}\mathrm{L}^{-1}}$, $u=2{,}18\times10^{-4}$ $\rightarrow$ $c=(5{,}3\pm 0{,}2)\times10^{-3}\ {\mathrm{mol}{\cdot}\mathrm{L}^{-1}}$. Le nombre de chiffres significatifs est imposé par l’incertitude, jamais par l’affichage de la calculatrice : un résultat sans unité, ou avec huit décimales, est faux.

7Comparer deux valeurs : l’écart normalisé

Définition. L’écart normalisé entre deux valeurs $x_1$ et $x_2$ d’incertitudes-types $u(x_1)$ et $u(x_2)$ est le nombre sans dimension

Les deux résultats sont compatibles si $E_N\leq 2$, incompatibles sinon ; le seuil $2$ correspond au niveau de confiance de $95\,\%$ de la loi normale. Si la valeur de référence est tabulée avec une incertitude négligeable, $E_N=\abs{x_{\text{mes}}-x_{\text{réf}}}/u(x_{\text{mes}})$.

Méthode — que faire d’un $E_N>2$ ?. Ne jamais conclure « la mesure est ratée ». Chercher, dans l’ordre : une erreur systématique non corrigée (zéro décalé, résistance des fils, amplitude trop grande d’un pendule, réactif non titré) ; une incertitude sous-estimée (contribution oubliée) ; une hypothèse de modèle fausse (frottements, lentille épaisse, réaction non totale). Un écart normalisé trop grand est une information, pas un échec.

8Régression linéaire et validation d’un modèle

Méthode — modéliser. Lorsque la théorie prévoit une relation affine $y=a\,x+b$, on porte les points avec leurs barres d’incertitude et l’on détermine $a$ et $b$ par la méthode des moindres carrés : ce sont les valeurs qui minimisent $\sum_i(y_i-a x_i-b)^2$. Un logiciel fournit $a$, $b$ et leurs incertitudes-types $u(a)$, $u(b)$ ; les formules sont $a=\sum_i (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)\,\big/\sum_i (x_i-\bar x)^2$ et $b=\bar y-a\,\bar x$.

Théorème — les deux procédures de validation. Une régression ne valide rien par elle-même : un logiciel ajuste une droite sur n’importe quel nuage. On valide par l’analyse graphique — la droite doit traverser toutes les barres d’incertitude — ou par l’analyse des écarts normalisés : pour chaque point, $E_{N,i}=\abs{y_i-(a x_i+b)}/u(y_i)$ doit rester $\leq 2$. On vérifie de plus que les résidus $y_i-(ax_i+b)$ sont répartis au hasard de part et d’autre de zéro : une structure en arche signale un modèle inadapté.

Remarque. Le coefficient de corrélation ne valide pas un modèle : $r=0{,}999$ s’obtient avec des données franchement courbes. Ne jamais conclure sur $r$ seul, et ne jamais forcer une régression par l’origine sans avoir vérifié que l’ordonnée à l’origine est compatible avec $0$, c’est-à-dire $\abs{b}/u(b)\leq 2$.

9Analyse dimensionnelle

Méthode — contrôler une formule. Toute grandeur a une dimension, produit de puissances des dimensions de base $\mathsf L$, $\mathsf M$, $\mathsf T$, $\mathsf I$, $\Theta$, $\mathsf N$ ; on note $[X]$ la dimension de $X$. On n’ajoute que des grandeurs de même dimension — une égalité est homogène ou fausse ; $[XY]=[X][Y]$, $\dd X$ a la dimension de $X$, $[\dd X/\dd t]=[X]\,\mathsf T^{-1}$ ; les arguments de $\exp$, $\ln$, $\cos$, $\sin$ et les exposants sont sans dimension ; un coefficient numérique est sans dimension, donc l’analyse dimensionnelle ne le donne jamais.

Remarque. Période d’un pendule. Cherchons $T=k\,m^{\alpha}\ell^{\beta}g^{\gamma}$. En dimensions, $\mathsf T=\mathsf M^{\alpha}\mathsf L^{\beta}(\mathsf L\mathsf T^{-2})^{\gamma}$, d’où $\alpha=0$, $\beta+\gamma=0$ et $-2\gamma=1$ : $\gamma=-\frac12$, $\beta=\frac12$ et $T=k\sqrt{\ell/g}$. La masse n’intervient pas — prédiction forte ; en revanche $k=2\pi$ ne s’obtient que par la résolution complète.

10Capacités numériques : la simulation de Monte-Carlo

Méthode — principe. Pour caractériser la variabilité d’une grandeur composée $y=f(x_1,\dots,x_p)$, on tire au hasard $N$ jeux de valeurs selon les distributions associées aux incertitudes (loi normale d’écart-type $u(x_i)$, loi uniforme de demi-largeur $\Delta$), on calcule $y$ pour chacun et l’on prend pour $u(y)$ l’écart-type de l’échantillon obtenu : la méthode ne suppose ni linéarité, ni petites incertitudes. Le même principe teste la robustesse d’une régression : on perturbe chaque $y_i$ par un tirage normal d’écart-type $u(y_i)$, on refait la régression, et l’écart-type des pentes donne $u(a)$.

import numpy as np
N = 100000                                # nombre de tirages
U = np.random.normal(4.832, 0.0151, N)    # V : loi normale d'ecart-type u(U)
I = np.random.normal(2.45e-3, 0.02e-3, N) # A
R = U / I                                 # la grandeur composee
print(R.mean(), R.std(ddof=1))            # -> 1972 ohm et u(R) = 17 ohm

pentes = np.zeros(1000)                   # robustesse d'une regression
for k in range(1000):
    ysim = y + np.random.normal(0.0, uy, len(y))
    pentes[k], ordonnee = np.polyfit(x, ysim, 1)
print(pentes.mean(), pentes.std(ddof=1))  # pente moyenne et son incertitude

Remarque. Si les incertitudes relatives sont faibles (quelques pour cent), la simulation redonne la formule de composition. Elle s’en écarte lorsqu’une incertitude relative devient grande ou que la fonction est fortement non linéaire : c’est alors la simulation qui a raison.

11Prévention du risque au laboratoire

Définition. Le système général harmonisé (SGH) classe les dangers et les signale par neuf pictogrammes, losanges rouges sur fond blanc. Toute étiquette porte en outre des mentions de danger (phrases H) et des conseils de prudence (phrases P) ; la fiche de données de sécurité (FDS), en seize rubriques, détaille manipulation, stockage, incompatibilités et élimination.

Propriété — phrases usuelles. Le premier chiffre d’une phrase H indique la famille : H2xx dangers physiques, H3xx dangers pour la santé, H4xx dangers pour l’environnement. À reconnaître : H225 liquide et vapeurs très inflammables ; H302 nocif en cas d’ingestion ; H314 graves brûlures de la peau et lésions oculaires ; H319 sévère irritation des yeux ; H400 très toxique pour les organismes aquatiques. Prudence : P210 tenir à l’écart de la chaleur ; P280 porter gants, lunettes et blouse ; P305+P351+P338 contact oculaire : rincer $15$ minutes, retirer les lentilles ; P501 éliminer dans un bidon de récupération adapté.

Méthode — attitude au laboratoire. Blouse fermée, lunettes, cheveux attachés ; verser l’acide dans l’eau et jamais l’inverse ; hotte pour tout produit volatil ; jamais de pipetage à la bouche ; repérer douche de sécurité et rince-œ il avant de commencer ; trier les déchets (bidons aqueux, organiques, halogénés) au lieu de les rejeter à l’évier et, à résultat égal, choisir le protocole qui consomme le moins de réactif dangereux. Optique : jamais l’œ il dans l’axe d’un faisceau laser, même de classe $2$. Pression et température : pince pour la verrerie chaude, écran devant une enceinte sous vide, verrerie ébréchée écartée.

Propriété — risque électrique. La grandeur dangereuse est l’intensité traversant le corps : perception vers ${1\,\mathrm{mA}}$, tétanisation vers ${10\,\mathrm{mA}}$, fibrillation vers ${50\,\mathrm{mA}}$ ; la résistance du corps allant de ${1\,\mathrm{k\Omega}}$ à ${100\,\mathrm{k\Omega}}$ selon l’humidité, les tensions limites de sécurité valent ${50\,\mathrm{V}}$ en alternatif et ${120\,\mathrm{V}}$ en continu. En TP : câbler hors tension, ne jamais toucher une borne sous tension, se rappeler que les masses du GBF et de l’oscilloscope sont reliées à la terre, ne pas ouvrir brutalement un circuit inductif ni court-circuiter un condensateur chargé.

12Savoir-faire du chapitre