Énergétique du point

1Puissance et travail d’une force

Définition. La puissance d’une force $\vv{F}$ appliquée à un point $M$ de vitesse $\vv{v}$ dans $\mathcal{R}$ est $\mathcal{P}=\vv{F}\cdot\vv{v}$ (en watts) ; le travail élémentaire de $\vv{F}$ pendant $\dd t$, au cours duquel $M$ subit le déplacement élémentaire $\dd\vect{OM}=\vv{v}\,\dd t$, est

Les deux grandeurs dépendent du référentiel, puisque $\vv{v}$ en dépend.

Notation. On écrit $\delta W$ et non $\dd W$ : le travail élémentaire n’est pas, en général, la variation élémentaire d’une fonction de la position. C’est précisément ce qui distinguera les forces conservatives des autres.

Propriété — moteur ou résistant. Une force est motrice sur un trajet si $W>0$, résistante si $W<0$. Instantanément, le signe de $\mathcal{P}=F\,v\cos\alpha$ est celui de $\cos\alpha$, où $\alpha=(\vv{F},\vv{v})$ : une force faisant un angle aigu avec la vitesse est motrice.

Propriété — forces qui ne travaillent jamais. Toute force constamment orthogonale à la vitesse a une puissance nulle, donc un travail nul sur tout trajet : réaction normale d’un support fixe sur lequel le point glisse, tension d’un fil inextensible d’un pendule, force magnétique $q\,\vv{v}\wedge\vv{B}$ (chapitre 11). En revanche la composante tangentielle d’une réaction (frottement) travaille, et toujours négativement.

Méthode — trois travaux à calculer de tête. Poids, de $A$ à $B$ : $W(\vv{P})=mg\,(z_A-z_B)$ avec $\vv{u}_z$ ascendant — seule la dénivellation compte. Frottement de norme constante $f$ opposé au mouvement, sur un trajet de longueur $s$ : $W=-f\,s$ — la longueur du chemin compte. Force constante : $W=\vv{F}\cdot\vect{AB}$.

2Les deux théorèmes cinétiques

Définition. L’énergie cinétique d’un point matériel de masse $m$ et de vitesse $\vv{v}$ dans $\mathcal{R}$ est $E_c=\frac12\,m\,v^{2}\geq 0$, en joules.

Théorème — puissance cinétique et énergie cinétique. Dans un référentiel galiléen, pour un point matériel de masse $m$ constante soumis aux forces $\vv{F}_k$ :

Démonstration (exigible). $E_c=\frac12 m\,\vv{v}\cdot\vv{v}$ donc $\dfrac{\dd E_c}{\dd t}=m\,\vv{v}\cdot\dfrac{\dd\vv{v}}{\dd t}=m\,\vv{a}\cdot\vv{v}=\left(\sum_k\vv{F}_k\right)\cdot\vv{v}$ par la deuxième loi de Newton. La seconde forme s’obtient en intégrant entre $t_A$ et $t_B$.

Méthode — lequel choisir ?. Ces théorèmes ne contiennent aucune information nouvelle : ils sont la projection de la deuxième loi sur la vitesse, ne fournissent qu’une équation scalaire et perdent toute information sur la direction du mouvement. Le théorème de l’énergie cinétique relie deux états sans décrire l’évolution : « quelle vitesse en tel point ? », « quelle distance d’arrêt ? ». Le théorème de la puissance cinétique fournit une équation différentielle : on l’emploie pour mettre en équation un système à un degré de liberté, en particulier quand les forces de liaison sont inconnues — il les élimine automatiquement puisqu’elles ne travaillent pas.

3Forces conservatives et énergie potentielle

Définition. Une force $\vv{F}$ définie en tout point et ne dépendant que de la position est conservative s’il existe une fonction $E_p$ de la position, son énergie potentielle, telle que $\boxed{\delta W=\vv{F}\cdot\dd\vect{OM}=-\dd E_p}$. Son travail vaut alors $W_{A\to B}=E_p(A)-E_p(B)$ : il ne dépend pas du chemin suivi, et il est nul sur tout trajet fermé.

Propriété — relation force-gradient. La relation $\delta W=-\dd E_p$ s’écrit $\vv{F}=-\vv{\mathrm{grad}}\,E_p$, soit $F_x=-\partial E_p/\partial x$ en cartésiennes. Pour un mouvement à une dimension repéré par $x$ : $\boxed{F_x=-\dfrac{\dd E_p}{\dd x}}$. $E_p$ n’est définie qu’à une constante additive près : seules ses variations ont un sens. On fixe la constante par une référence, et on l’annonce.

Théorème — les trois énergies potentielles du programme. Dans chaque cas, on écrit $\delta W$ et l’on reconnaît une différentielle exacte :

la dernière avec la référence $E_p(\infty)=0$, les deux premières à une constante près.

Remarque. L’interaction coulombienne a la même structure : $\vv{F}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\vv{u}_r$ et $E_p=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\,r}$ (nulle à l’infini), avec le signe du produit $q_1q_2$. Son expression sera toujours fournie.

4Énergie mécanique

Définition. L’énergie mécanique est $E_m=E_c+E_p$, où $E_p$ est la somme des énergies potentielles de toutes les forces conservatives subies.

Théorème — théorème de l’énergie mécanique. Dans un référentiel galiléen, en séparant les forces conservatives (d’énergie potentielle totale $E_p$) des autres :

Démonstration (exigible). $\dfrac{\dd E_c}{\dd t}=\mathcal{P}_{\text{cons}}+\mathcal{P}_{\text{non cons}}$ et, par définition d’une force conservative, $\mathcal{P}_{\text{cons}}=-\dfrac{\dd E_p}{\dd t}$ ; on reporte et l’on regroupe.

Théorème — mouvement conservatif et intégrale première. Si toutes les forces qui travaillent sont conservatives, $E_m=\text{cte}$ : c’est une intégrale première du mouvement, relation entre position et vitesse ne contenant plus de dérivée seconde. À une dimension, $\frac12\,m\,\dot x^{2}+E_p(x)=E_m$, la constante étant fixée par les conditions initiales, d’où la vitesse en tout point sans résoudre l’équation du mouvement :

Remarque. Dériver l’intégrale première par rapport au temps puis simplifier par $\dot x$ redonne $m\ddot x=-\dd E_p/\dd x$ : c’est souvent la mise en équation la plus rapide.

5Lecture d’un profil d’énergie potentielle

Méthode — le profil d’énergie potentielle. Pour un mouvement conservatif à une dimension, on trace $E_p(x)$ et l’on y porte le niveau horizontal $E_m$. Tout se lit alors sur ce graphe, sans aucun calcul :

• Zones accessibles : $E_c=E_m-E_p(x)\geq 0$, donc le mouvement n’est possible que là où la courbe est sous le niveau $E_m$. Les points où $E_p(x)=E_m$ sont les points de rebroussement : la vitesse s’y annule et le point fait demi-tour (sauf en un maximum de $E_p$, atteint au bout d’un temps infini).
• Vitesse : $\abs{\dot x}$ croît avec l’écart vertical $E_m-E_p$ ; elle est maximale au fond d’un puits.
• Force : $F_x=-\dd E_p/\dd x$ est l’opposé de la pente : la force pousse vers les énergies potentielles décroissantes et son intensité croît avec la raideur de la pente.

Définition. Un puits de potentiel est un minimum local de $E_p$, une barrière de potentiel un maximum local. Le mouvement est un état lié si la trajectoire est bornée (le point reste piégé entre deux points de rebroussement : le mouvement est périodique), un état de diffusion si elle est non bornée.

Propriété — franchir une barrière. Pour passer d’un côté à l’autre d’une barrière de sommet $x_b$, il faut $E_m\geq E_p(x_b)$ : depuis un point $x_0$, l’énergie cinétique minimale à fournir est $E_p(x_b)-E_p(x_0)$, la hauteur de la barrière vue de $x_0$. Si $E_p$ tend vers une limite finie, la condition pour s’échapper est $E_m\geq E_p(\infty)$ ; avec la convention usuelle $E_p(\infty)=0$ en gravitation,

6Équilibres, stabilité et petits mouvements

Théorème — positions d’équilibre et stabilité. Pour un mouvement conservatif à une dimension, $m\ddot x=-\dd E_p/\dd x$ : les positions d’équilibre $x_e$ sont les points où $\boxed{E_p'(x_e)=0}$, c’est-à-dire les extrema de $E_p$. Comme la force pousse vers les $E_p$ décroissantes,

Si $E_p''(x_e)=0$, il faut pousser le développement plus loin. Sur le profil : le fond d’un puits est stable, le sommet d’une barrière est instable.

Théorème — approximation harmonique. Soit $x_e$ un équilibre stable et $X=x-x_e$. Comme $E_p'(x_e)=0$, le développement de Taylor à l’ordre $2$ s’écrit $E_p(x)=E_p(x_e)+\frac12E_p''(x_e)X^{2}+O(X^{3})$, d’où $F_x\simeq-E_p''(x_e)\,X$ : au voisinage d’un équilibre stable, toute force conservative se comporte comme un ressort de raideur équivalente $k_{\text{eq}}=E_p''(x_e)>0$. On retrouve l’oscillateur harmonique du chapitre 5 :

période indépendante de l’amplitude (isochronisme). Le résultat est universel : il ne dépend du système que par $E_p''(x_e)$.

Méthode — en trois lignes. (i) écrire $E_p$ ; (ii) résoudre $E_p'=0$, puis calculer $E_p''$ aux solutions pour trier stables et instables ; (iii) en un équilibre stable, $\omega_0=\sqrt{E_p''(x_e)/m}$.

Remarque. Trois pulsations propres en une ligne. Masse-ressort horizontal : $E_p=\frac12kx^{2}$, $E_p''=k$, $\omega_0=\sqrt{k/m}$. Masse-ressort vertical : $E_p=\frac12kX^{2}-mgX$, équilibre en $X_e=mg/k$ et $E_p''=k$ — le poids déplace l’équilibre mais ne change pas $\omega_0$. Pendule simple : $E_p=-mg\ell\cos\theta$ et $E_c=\frac12m\ell^{2}\dot\theta^{2}$, d’où $\omega_0^{\,2}=E_p''(0)/(m\ell^{2})=g/\ell$.

7Capacité numérique : équation du deuxième ordre non linéaire

Méthode — du second ordre au premier ordre. On pose $v=\dot x$ : l’équation $\ddot x=f(x,v)$ devient le système $\dot x=v$, $\dot v=f(x,v)$, et le schéma d’Euler explicite s’écrit $x_{k+1}=x_k+h_p v_k$, $v_{k+1}=v_k+h_p f(x_k,v_k)$. En inversant l’ordre des deux lignes — avancer d’abord la vitesse, puis la position avec la vitesse nouvelle — on obtient le schéma semi-implicite, qui conserve bien mieux l’énergie sur de longues durées : c’est le contrôle décisif pour un mouvement conservatif.

import numpy as np
g, L = 9.81, 0.80                                     # pendule simple non lineaire
w02, T0 = g / L, 2 * np.pi * np.sqrt(0.80 / 9.81)     # T0 : petites oscillations
hp = T0 / 2000                                        # pas tres petit devant T0
t = np.arange(0.0, 6 * T0, hp)
th = np.zeros(len(t)); om = np.zeros(len(t)); th[0] = np.radians(60.0)
for k in range(len(t) - 1):
    om[k + 1] = om[k] - hp * w02 * np.sin(th[k])      # la vitesse d'abord
    th[k + 1] = th[k] + hp * om[k + 1]                # puis la position
Em = 0.5 * L**2 * om**2 + g * L * (1 - np.cos(th))    # par unite de masse

Remarque. Effet du terme non linéaire : mesurer la période (écart entre deux maxima successifs de $\theta$) pour plusieurs amplitudes et constater qu’elle croît avec l’amplitude ($T/T_0=1{,}002$ à ${10^{\circ}}$ ; $1{,}07$ à ${60^{\circ}}$ ; $1{,}37$ à ${120^{\circ}}$), alors que le modèle linéarisé prédit l’isochronisme. Portrait de phase : tracer $\dot\theta$ en fonction de $\theta$ ; chaque condition initiale donne une courbe fermée (état lié) ou une courbe ouverte traversant le graphe (révolution), les deux familles étant séparées par la séparatrice $E_m=2mg\ell$. Contrôle obligatoire : $E_m$ doit rester constante à mieux que quelques $10^{-3}$.

8Démonstrations à savoir refaire

• Théorèmes cinétiques : dériver $\frac12m\vv{v}\cdot\vv{v}$ et utiliser $m\vv{a}=\sum\vv{F}$. Théorème de l’énergie mécanique : séparer les puissances et utiliser $\mathcal{P}_{\text{cons}}=-\dd E_p/\dd t$.
• Les trois énergies potentielles : écrire $\delta W$ et reconnaître $-\dd E_p$. Non-conservativité d’un frottement : comparer deux chemins joignant les mêmes points (un diamètre, $-2fR$ ; un demi-cercle, $-\pi fR$).
• Équilibres et stabilité à partir de $m\ddot x=-E_p'(x)$ ; équation des petits mouvements par le développement de Taylor de $E_p$ à l’ordre $2$, et $\omega_0=\sqrt{E_p''(x_e)/\mu}$.
• Orbite circulaire : $E_m=-\dfrac{GMm}{2r}=-E_c=\dfrac{E_p}{2}$ ; vitesse de libération $v_{\text{lib}}=\sqrt{2GM/R}$.
• Intégrale première du pendule : $\dot\theta^{2}=\dfrac{2g}{\ell}(\cos\theta-\cos\theta_0)$, puis $T=mg(3\cos\theta-2\cos\theta_0)$.