Cinématique du point

1Espace, temps, référentiel

Définition. En mécanique classique, l’espace est euclidien et de dimension trois, et le temps est absolu : deux observateurs quelconques mesurent la même durée entre deux événements et la même distance entre deux points au même instant. Le temps est repéré par une date $t$, réel croissant, mesurée par une horloge.

Définition. Un référentiel $\mathcal{R}$ est la donnée d’un solide de référence (auquel on associe un repère d’espace) et d’une horloge. Décrire un mouvement sans préciser le référentiel n’a aucun sens : le mouvement est relatif.

Notation. On fixe dans $\mathcal{R}$ une origine $O$ et une base orthonormée directe $(\vv{u}_x,\vv{u}_y,\vv{u}_z)$ : c’est le repère $(O,\vv{u}_x,\vv{u}_y,\vv{u}_z)$. La position de $M$ est donnée par le vecteur position $\vect{OM}$. Un voyageur assis dans un train est immobile dans le référentiel du wagon, en mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel terrestre, et décrit une courbe compliquée dans le référentiel héliocentrique : aucune de ces descriptions n’est « la vraie ».

Remarque — limites du modèle classique. Le caractère absolu de l’espace et du temps est une approximation, prise en défaut dès que $v$ n’est plus très petite devant $c$ : les horloges des satellites GPS dérivent de ${38\,\mathrm{\text{µ}s}}$ par jour (soit ${10\,\mathrm{km}}$ d’erreur de position) sans corrections relativistes, et les muons atmosphériques, de durée de vie propre ${2{,}2\,\mathrm{\text{µ}s}}$, devraient s’arrêter après ${660\,\mathrm{m}}$ alors qu’on les détecte au sol. À l’échelle atomique, c’est la notion même de trajectoire qui perd son sens (mécanique quantique).

2Paramétrage, trajectoire, degrés de liberté

Définition. La trajectoire de $M$ dans $\mathcal{R}$ est l’ensemble des positions occupées au cours du temps. Les équations horaires donnent les coordonnées en fonction de $t$ ; l’équation de la trajectoire s’obtient en éliminant $t$ entre elles. Le nombre de degrés de liberté est le nombre de paramètres indépendants repérant $M$ : $3$ dans l’espace, $2$ sur une surface, $1$ sur une courbe.

Méthode — choisir ses coordonnées. Regarder les symétries : rectiligne ou parabolique $\to$ cartésiennes ; circulaire, en spirale ou autour d’un centre $\to$ cylindriques ; sur une sphère $\to$ sphériques. Un bon choix réduit le nombre de coordonnées variables, souvent à une seule.

3Vitesse et accélération

Définition. Le vecteur vitesse et le vecteur accélération de $M$ dans $\mathcal{R}$ sont les dérivées

L’indice $\mathcal{R}$ rappelle que la dérivation se fait à vecteurs de base de $\mathcal{R}$ fixes ; on l’omet quand aucune ambiguïté n’est possible. Unités : ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ et ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-2}}$.

Propriété — la vitesse est tangente. En notant $\dd\vect{OM}$ le déplacement élémentaire entre $t$ et $t+\dd t$, $\vv{v}=\dd\vect{OM}/\dd t$ lui est colinéaire, donc toujours tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement ; $\vv{a}$, lui, n’a aucune raison d’être tangent. Enfin $\vv{v}$ et $\vv{a}$ ne dépendent pas de l’origine $O$ (deux origines fixes diffèrent d’un vecteur constant), mais bien du référentiel.

4Coordonnées cartésiennes

Propriété. La base $(\vv{u}_x,\vv{u}_y,\vv{u}_z)$ est fixe dans $\mathcal{R}$ : dériver revient à dériver les composantes.

5Coordonnées cylindriques

Définition. Soit $m$ le projeté orthogonal de $M$ sur le plan $(Oxy)$. On pose $r=Om\geq 0$, distance de $M$ à l’axe $Oz$, $\theta$ l’angle orienté $(\vv{u}_x,\vect{Om})$ et $z$ la cote. On construit la base locale $(\vv{u}_r,\vv{u}_\theta,\vv{u}_z)$, orthonormée directe, avec

Cette base dépend de la position du point : elle tourne avec lui. Quand $z=0$ on parle de coordonnées polaires $(r,\theta)$.

Théorème — dérivées des vecteurs de base. La base locale ne dépend du temps que par $\theta$, donc

Idée : dériver $\vv{u}_r=\cos\theta\,\vv{u}_x+\sin\theta\,\vv{u}_y$ par rapport à $t$ ($\vv{u}_x,\vv{u}_y$ fixes) et reconnaître $\vv{u}_\theta$ ; de même pour $\vv{u}_\theta$. Géométriquement : dériver un vecteur unitaire tournant, c’est le faire tourner d’un quart de tour direct et le multiplier par $\dot\theta$.

Théorème — expressions exigibles. Avec $\vect{OM}=r\,\vv{u}_r+z\,\vv{u}_z$ :

Idée : dériver $\vect{OM}=r\,\vv{u}_r+z\,\vv{u}_z$ en traitant $r$, $z$ et $\vv{u}_r$ comme fonctions du temps, puis recommencer sur $\vv{v}$.

6Coordonnées sphériques

Définition. $r=OM\geq 0$ ; $\theta\in\intff{0}{\pi}$ est la colatitude, angle entre $\vv{u}_z$ et $\vect{OM}$ ; $\varphi\in\intfo{0}{2\pi}$ est la longitude, angle du projeté dans $(Oxy)$. La base locale $(\vv{u}_r,\vv{u}_\theta,\vv{u}_\varphi)$ est orthonormée directe, chaque vecteur pointant vers les valeurs croissantes de la coordonnée correspondante ($\vv{u}_\theta$ vers le « sud », $\vv{u}_\varphi$ vers l’« est »).

Théorème — déplacement élémentaire. En faisant varier une seule coordonnée à la fois, on lit géométriquement sur la figure 2 :

Le facteur $r\sin\theta$ est le rayon du parallèle sur lequel se déplace $M$ lorsque seul $\varphi$ varie : c’est la distance de $M$ à l’axe $Oz$.

7Repère de Frenet et courbure (trajectoire plane)

Définition. On oriente la trajectoire et on note $s(t)$ l’abscisse curviligne, telle que $\dd s=\norme{\dd\vect{OM}}$ pour un mouvement dans le sens positif. La base de Frenet en $M$ est $(\vv{u}_T,\vv{u}_N)$ : $\vv{u}_T$ unitaire tangent orienté dans le sens du mouvement, $\vv{u}_N$ unitaire normal dirigé vers le centre de courbure (vers l’intérieur de la concavité).

Définition. Le cercle osculateur en $M$ est le cercle tangent à la trajectoire qui épouse le mieux la courbe au voisinage de $M$ ; son rayon $R_c>0$ est le rayon de courbure et son centre est $C=M+R_c\,\vv{u}_N$. Une droite correspond à $R_c\to+\infty$, un cercle de rayon $R$ à $R_c=R$ partout.

Théorème — décomposition de Frenet. Pour un mouvement plan de vitesse $\vv{v}=v\,\vv{u}_T$ avec $v=\dfrac{\dd s}{\dd t}>0$ :

Idée : dériver $\vv{v}=v\,\vv{u}_T$ ; le premier terme vient de la variation de la norme, le second de la rotation de $\vv{u}_T$, dont la dérivée vaut $\dd\vv{u}_T/\dd t=(v/R_c)\,\vv{u}_N$. Comme $a_N\geq 0$ toujours, l’accélération pointe du côté concave ; et le signe de $a_T=\vv{a}\cdot\vv{u}_T$, celui de $\vv{a}\cdot\vv{v}$, dit si le mouvement est accéléré ($>0$), uniforme ($=0$) ou retardé ($<0$).

Méthode — déterminer un rayon de courbure. Calculer $\vv{v}$ et $\vv{a}$ dans un système commode, puis $v=\norme{\vv{v}}$, $a_T=\dd v/\dd t$ et $a_N=\sqrt{a^2-a_T^{\,2}}$, d’où $R_c=v^2/a_N$ ; on peut aussi projeter directement $\vv{a}$ sur $\vv{u}_N$.

8Mouvements types

Propriété — mouvement rectiligne. La trajectoire est portée par une droite fixe, d’où une seule coordonnée $x$. Il est uniforme si $v$ est constante ($x=v_0t+x_0$, $\vv{a}=\vv{0}$), uniformément accéléré si $\vv{a}=a_0\vv{u}_x$ est constant :

la dernière relation, obtenue en éliminant $t$, évitant bien des calculs.

Théorème — mouvement à vecteur accélération constant. Si $\vv{a}=\vv{a}_0$ est constant, une double intégration vectorielle donne $\vv{v}(t)=\vv{a}_0\,t+\vv{v}_0$ et $\vect{OM}(t)=\tfrac12\,\vv{a}_0\,t^2+\vv{v}_0\,t+\vect{OM_0}$. Le mouvement est plan (plan passant par $M_0$ et dirigé par $\vv{v}_0$ et $\vv{a}_0$) et la trajectoire est une parabole d’axe parallèle à $\vv{a}_0$ — sauf si $\vv{v}_0$ et $\vv{a}_0$ sont colinéaires, le mouvement étant alors rectiligne.

Méthode — équation de la trajectoire. Avec $\vv{a}_0=-g\,\vv{u}_y$ et $\vv{v}_0=v_0(\cos\alpha\,\vv{u}_x+\sin\alpha\,\vv{u}_y)$ depuis l’origine, on tire $t=\dfrac{x}{v_0\cos\alpha}$ de la première équation horaire et on le reporte dans la seconde : $y=-\dfrac{g}{2v_0^{\,2}\cos^2\alpha}\,x^2+x\tan\alpha$.

Théorème — mouvement circulaire. Le point décrit un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ : $r=R$, $\dot r=\ddot r=0$, et il ne reste qu’un degré de liberté, $\theta(t)$. On note $\omega=\dot\theta$ la vitesse angulaire (${\mathrm{rad}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$). Alors

Si $\dot\theta>0$, $\vv{u}_\theta=\vv{u}_T$ et $-\vv{u}_r=\vv{u}_N$ : on retrouve $a_N=v^2/R$, $a_T=\dd v/\dd t=R\ddot\theta$ et $R_c=R$.

Propriété — circulaire uniforme. Si $\dot\theta=\omega$ est constante, $v=R\abs{\omega}$ est constante, la période vaut $T=2\pi/\abs{\omega}$, et $\vv{a}=-R\omega^2\,\vv{u}_r$ est purement centripète, de norme constante $a=R\omega^2=v^2/R=v\abs{\omega}$. Un mouvement circulaire uniforme n’a pas une accélération nulle : seule la norme de la vitesse est constante, pas sa direction.

9Capacité expérimentale : exploiter un enregistrement vidéo

Méthode — pointage vidéo. Un logiciel fournit une suite de positions $(x_k,y_k)$ aux dates $t_k=k\,\Delta t$, $\Delta t$ étant l’inverse de la fréquence d’acquisition. On estime la vitesse par une différence centrée, bien plus précise qu’une différence à droite : $v_{x,k}\simeq\dfrac{x_{k+1}-x_{k-1}}{2\,\Delta t}$ et $a_{x,k}\simeq\dfrac{v_{x,k+1}-v_{x,k-1}}{2\,\Delta t}\simeq\dfrac{x_{k+2}-2x_k+x_{k-2}}{4\,\Delta t^2}$. La vitesse n’est donc pas calculable aux points extrêmes. Le vecteur vitesse tracé en $M_k$ doit apparaître tangent à la trajectoire : c’est le premier contrôle de cohérence.

t, x, y = np.loadtxt("pointage.csv", delimiter=",", unpack=True) ; dt = t[1] - t[0]
vx, vy = (x[2:] - x[:-2]) / (2*dt), (y[2:] - y[:-2]) / (2*dt)   # k = 1 ... N-2
ax, ay = (vx[2:] - vx[:-2]) / (2*dt), (vy[2:] - vy[:-2]) / (2*dt)
print(np.hypot(vx, vy), np.mean(ay))       # ~ -9.8 m/s^2 en chute libre

10Démonstrations exigibles et savoir-faire