Propagation et interférences

1Signaux et milieux de propagation

Définition. Un signal est la variation d’une grandeur physique porteuse d’information : acoustique (surpression $p(M,t)$ par rapport à la pression au repos, ou vitesse des particules du fluide) ; mécanique (déplacement transversal d’une corde, altitude de la surface d’un liquide) ; électrique (tension ou intensité le long d’un câble coaxial) ; électromagnétique (champ électrique $\vect{E}(M,t)$ d’une onde radio, lumineuse ou X).

Notation. On note $s(x,t)$ la valeur du signal en $x$ à la date $t$ ; toute cette fiche se limite à une propagation unidimensionnelle selon $Ox$. Le milieu est supposé illimité (pas de bord, donc pas d’onde réfléchie), transparent (pas d’absorption) et, jusqu’au bloc 5, non dispersif.

Propriété — ordres de grandeur à savoir citer. Acoustique : audible ${20\,\mathrm{Hz}\text{ à }20\times10^{3}\,\mathrm{Hz}}$, ultrasons au-delà (${40\,\mathrm{kHz}}$ en TP) ; $c={340\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ dans l’air, ${1\,500\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ dans l’eau, ${5\,000\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ dans l’acier. Mécanique : corde et vagues, de ${0{,}1\,\mathrm{Hz}}$ à ${100\,\mathrm{Hz}}$ ; houle $\sim{10\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$, corde de guitare $\sim{100\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$. Électromagnétique : radio ${10^{5}\,\mathrm{Hz}\text{ à }10^{9}\,\mathrm{Hz}}$, visible $4$ à ${8\times10^{14}\,\mathrm{Hz}}$ (soit ${400\,\mathrm{nm}\text{ à }800\,\mathrm{nm}}$) ; $c={3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ dans le vide.

2Onde progressive : le retard de propagation

Définition. Un signal se propage à la célérité $c>0$ selon les $x$ croissants lorsque le signal observé en $x$ reproduit, avec le seul retard $\tau=x/c$, celui observé en $x=0$ : pour tout $t$,

où $f$ est la fonction du temps enregistrée à l’origine. Une telle onde est dite progressive. Si elle se propage vers les $x$ décroissants, le signal en $x$ est en avance et $s(x,t)=g\!\left(t+\dfrac{x}{c}\right)$.

Propriété — formes équivalentes. Puisque $t-\dfrac{x}{c}=-\dfrac{1}{c}(x-ct)$, on peut aussi écrire $s(x,t)=F(x-ct)$ ($x$ croissants) ou $G(x+ct)$ ($x$ décroissants). Les fonctions $f$ et $F$ sont différentes mais décrivent la même onde : $f$ est un signal temporel (lu à $x$ fixé), $F$ un profil spatial (photographié à $t$ fixé).

Méthode — reconnaître une onde progressive. Un signal est une onde progressive si et seulement s’il ne dépend de $x$ et de $t$ que par la combinaison $t\mp x/c$ (ou $x\mp ct$). Le contrôle d’homogénéité tranche aussitôt : dans $t-x/c$ les deux termes sont des durées, dans $x-ct$ des longueurs ; $f(t-cx)$ et $f(x-t/c)$ sont impossibles.

Méthode — exploiter un enregistrement. Deux photographies $s(x)$ aux dates $t_1$ et $t_2$ : le décalage $\Delta x$ du profil donne le sens de propagation (son signe) et $c=\Delta x/\Delta t$. Deux chronogrammes $s(t)$ en $x_1$ et $x_2$ : le retard $\Delta t$ donne $c=(x_2-x_1)/\Delta t$.

3Onde progressive sinusoïdale et double périodicité

Définition. Une onde progressive sinusoïdale (ou monochromatique) de pulsation $\omega$ se propageant vers les $x$ croissants s’écrit, en partant de $s(0,t)=s_m\cos(\omega t+\varphi_0)$ :

$s_m>0$ est l’amplitude, $k>0$ le nombre d’onde (en ${\mathrm{rad}{\cdot}\mathrm{m}^{-1}}$), et $\Phi(x,t)=\omega t-kx+\varphi_0$ la phase de l’onde.

Théorème — double périodicité. Le signal est périodique en temps et en espace :

Idée de la démonstration : $\lambda$ est la plus petite période spatiale, donc $k\lambda=2\pi$ ; avec $k=\omega/c$ et $\omega T=2\pi$, il vient $\lambda=2\pi c/\omega=cT$. Autre lecture : pendant une période $T$, le profil se translate de $cT$, et comme il se reproduit à l’identique, $cT$ est bien une période spatiale.

4Déphasage dû à la propagation

Théorème — déphasage et retard. Soient deux points $M_1(x_1)$ et $M_2(x_2)$ d’un milieu non dispersif traversé par l’onde progressive sinusoïdale précédente. Le signal en $M_2$ est celui de $M_1$ retardé de $\tau=\dfrac{x_2-x_1}{c}$, donc le déphasage de $M_2$ par rapport à $M_1$ vaut

Le signe $-$ traduit un retard : le point situé plus loin de la source est en retard de phase.

Propriété — cas particuliers. $\Delta x=\lambda$ donne $\Delta\varphi=-2\pi$ : les deux points vibrent en phase. $\Delta x=\lambda/2$ donne $\Delta\varphi=-\pi$ : ils vibrent en opposition de phase. Plus généralement, $M_1$ et $M_2$ vibrent en phase si et seulement si $\Delta x=p\,\lambda$ avec $p\in\Z$.

Méthode — mesurer $\lambda$, puis $c$. On déplace un récepteur le long de la direction de propagation en observant à l’oscilloscope son déphasage avec un récepteur fixe : chaque retour en phase correspond à un déplacement de $\lambda$. Après $N$ coïncidences sur une distance $d$, $\lambda=d/N$ puis $c=\lambda f$ ; prendre $N$ grand améliore la précision.

5Milieux dispersifs et vitesse de phase

Définition. On appelle relation de dispersion du milieu la relation $\omega\mapsto k(\omega)$ imposée par le milieu à toute onde progressive sinusoïdale qui s’y propage. On définit alors la vitesse de phase

qui est la vitesse à laquelle se déplace un point de phase donnée (une crête, par exemple).

Définition. Le milieu est non dispersif si $v_\varphi$ ne dépend pas de $\omega$, c’est-à-dire si $k=\omega/c$ avec $c$ constante : alors $v_\varphi=c$ pour toutes les fréquences. Il est dispersif dans le cas contraire.

Propriété — conséquence. Dans un milieu non dispersif, un signal de forme quelconque se propage sans déformation : toutes ses composantes sinusoïdales voyagent à la même vitesse. Dans un milieu dispersif, chacune avance à sa propre vitesse $v_\varphi(\omega)$ et le signal se déforme : seule une onde monochromatique garde sa forme.

Remarque — $v_\varphi>c$ n’est pas un paradoxe. Pour l’ionosphère, $k=\dfrac{\omega}{c}\sqrt{1-\dfrac{\omega_p^{\,2}}{\omega^2}}$ donne $v_\varphi=\dfrac{c}{\sqrt{1-\omega_p^{\,2}/\omega^2}}>c$ : la vitesse de phase n’est ni la vitesse de transport de l’énergie, ni celle de l’information — une sinusoïde illimitée dans le temps ne transporte aucune information. La propagation n’est possible que si $\omega>\omega_p$ ; en dessous, $k$ n’est pas réel et l’onde est réfléchie (les ondes courtes font ainsi le tour de la Terre).

6Interférences de deux ondes de même fréquence

Notation. Deux sources $S_1$ et $S_2$ émettent des ondes synchrones (même fréquence) et cohérentes (leur déphasage à l’émission est constant dans le temps). En un point $M$ les deux ondes se superposent : $s(M,t)=s_1(M,t)+s_2(M,t)$ avec $s_j=A_j\cos(\omega t+\Phi_j)$.

Théorème — amplitude résultante. En posant $\Delta\varphi=\Phi_2-\Phi_1$, la somme de deux sinusoïdes de même pulsation est une sinusoïde de même pulsation, d’amplitude $A$ telle que

Idée de la démonstration : on somme les amplitudes complexes $\underline{s_1}=A_1\e^{j\Phi_1}$ et $\underline{s_2}=A_2\e^{j\Phi_2}$, puis on prend le module au carré de $\underline{s}=\underline{s_1}+\underline{s_2}$.

Définition. L’intensité (ou éclairement, en optique) est proportionnelle au carré de l’amplitude : $I=K\,A^2$. La relation précédente devient la formule de Fresnel, fournie :

Le terme $2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\varphi$ est le terme d’interférences : sans lui, les intensités s’ajouteraient simplement.

Théorème — conditions d’interférences. Avec $I_1=I_2=I_0$, la formule de Fresnel donne $I=2I_0(1+\cos\Delta\varphi)=4I_0\cos^2\!\dfrac{\Delta\varphi}{2}$, donc

Définition. Le contraste de la figure d’interférences est $\mathcal{C}=\dfrac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}=\dfrac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}$. Il vaut $1$ si et seulement si $I_1=I_2$ ; il tombe à $0{,}80$ dès que $I_2=I_1/4$.

7Interférences lumineuses : chemin optique et trous d’Young

Définition. Le chemin optique d’un rayon allant de $A$ à $B$ est $(AB)=\displaystyle\int_A^B n\,\dd\ell$, soit $(AB)=n\,AB$ dans un milieu homogène d’indice $n$. La phase accumulée le long du trajet vaut $\dfrac{2\pi}{\lambda_0}\,(AB)$, où $\lambda_0$ est la longueur d’onde dans le vide.

Définition. La différence de chemin optique au point $M$ entre les deux trajets est $\delta=(S_2M)-(S_1M)$, et

Les interférences sont constructives si $p$ est entier ($\delta=p\lambda_0$), destructives si $p$ est demi-entier ($\delta=(p+\frac12)\lambda_0$).

Théorème — différence de chemin optique des trous d’Young. Avec les notations de la figure 4 — $S_1$ d’ordonnée $+a/2$, $S_2$ d’ordonnée $-a/2$, $M$ d’abscisse $x$ — dans l’air ($n=1$), $S$ étant à égale distance de $S_1$ et de $S_2$ :

donc $S_2M^2-S_1M^2=2ax$ et $\delta=S_2M-S_1M=\dfrac{2ax}{S_2M+S_1M}$. Comme $a\ll D$ et $\abs{x}\ll D$, $S_1M+S_2M\approx 2D$ :

Théorème — répartition d’intensité et interfrange. Les deux trous étant identiques, $I_1=I_2=I_0$ et la formule de Fresnel donne

On observe des franges rectilignes, parallèles aux trous, équidistantes. La frange centrale ($x=0$, $p=0$) est brillante. L’interfrange est la distance entre deux franges brillantes consécutives :

Franges brillantes en $x=p\,i$ ($p\in\Z$), franges sombres en $x=\left(p+\frac12\right)i$.

Méthode — exploiter une figure de franges. Mesurer l’étendue $L$ de $N$ interfranges (jamais d’un seul) : $i=L/N$, d’où l’inconnue par $i=\lambda_0D/a$. Contrôles : $i$ croît avec $D$, décroît avec $a$, et est proportionnel à $\lambda_0$ — le rouge donne des franges plus larges que le bleu.

Propriété — influence d’une lame mince. Interposer devant l’un des trous une lame d’épaisseur $e$ et d’indice $n$ augmente de $(n-1)e$ le chemin optique de cette voie (on remplace $e$ d’air par $e$ de verre). Lame devant $S_2$ : $\delta=\dfrac{ax}{D}+(n-1)e$ et la frange centrale passe en $x_c=-\dfrac{(n-1)e\,D}{a}$ ; lame devant $S_1$ : signes opposés. Dans les deux cas la figure se translate de $\dfrac{(n-1)e}{\lambda_0}$ interfranges vers le trou couvert, sans changer d’interfrange.

8Savoir-faire et démonstrations exigibles