Circuits dans l’ARQS

1Charge électrique et intensité du courant

Définition. La charge électrique $q$ se mesure en coulombs (${\mathrm{C}}$). Elle est quantifiée : toute charge est un multiple entier de la charge élémentaire $e={1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}}$. Elle est conservée : la charge totale d’un système fermé ne varie pas.

Définition. L’intensité $i$ du courant à travers une section orientée d’un conducteur est le débit de charge à travers cette section :

$i$ est une grandeur algébrique : son signe dépend de l’orientation choisie, fixée une fois pour toutes par une flèche sur le schéma. Le sens conventionnel du courant est celui du déplacement des charges positives, donc l’inverse du déplacement des électrons dans un métal.

Propriété — compatibilité avec la quantification. Un courant de ${1\,\mathrm{mA}}$ correspond à $N=i/e\approx 6\times 10^{15}$ électrons par seconde, dont les fluctuations relatives sont de l’ordre de $1/\sqrt{N}\approx 10^{-8}$ : à l’échelle macroscopique la charge se décrit comme une grandeur continue, la granularité n’étant décelable qu’à très faible courant (bruit de grenaille).

Notation. Intensités : ${\mathrm{pA}}$ (fuite), ${\mathrm{\text{µ}A}}$ (capteur), ${\mathrm{mA}}$ (électronique), ${\mathrm{A}}$ (électroménager), $10^{4}\,{\mathrm{A}}$ (foudre). Tensions : ${\mathrm{\text{µ}V}}$ (signal biologique), ${\mathrm{mV}}$ (thermocouple), ${\mathrm{V}}$ (pile), ${230\,\mathrm{V}}$ (secteur), ${\mathrm{MV}}$ (ligne THT).

2L’approximation des régimes quasi stationnaires

Définition. Un signal électrique se propage le long des fils à une célérité $c'$ de l’ordre de $c={3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$. Pour un circuit de plus grande dimension $\ell$, l’information met donc une durée $\theta=\ell/c'$ à le parcourir. L’ARQS consiste à négliger $\theta$ devant la durée caractéristique $T$ d’évolution des signaux :

Propriété — conséquences. Dans l’ARQS, tout se passe comme si les signaux se propageaient instantanément : l’intensité est la même en tout point d’une même branche à chaque instant, et les lois des nœ uds et des mailles s’appliquent à chaque instant, avec les valeurs instantanées.

3Potentiel, tension, puissance

Définition. Le potentiel $V$ est défini en chaque point d’un circuit à une constante additive près : on choisit un point de référence, la masse, où l’on pose $V=0$. La tension entre $A$ et $B$ est la différence de potentiel $u_{AB}=V_A-V_B$ (${\mathrm{V}}$), grandeur algébrique représentée par une flèche allant de $B$ vers $A$ (la flèche pointe vers le premier indice).

Propriété — conséquence immédiate. $u_{AB}=-u_{BA}$ ; deux points reliés par un fil idéal sont au même potentiel, donc la tension entre eux est nulle. La somme des tensions le long d’un chemin fermé est nulle : c’est la loi des mailles.

Définition. Convention récepteur : les flèches de $u$ et de $i$ sont de sens opposés sur le dipôle. Convention générateur : elles sont de même sens. Dans les deux cas, la puissance reçue par le dipôle vaut, en convention récepteur,

et l’énergie reçue entre $t_1$ et $t_2$ vaut $W=\int_{t_1}^{t_2}u\,i\,\dd t$.

Remarque — le signe n’est pas une nature. Un dipôle fléché en convention récepteur pour lequel on trouve $\mathcal{P}=ui<0$ fournit de l’énergie au reste du circuit ; une batterie en charge, elle, est un récepteur. C’est le signe du calcul, non le nom du composant, qui tranche.

4Les dipôles usuels

Définition. La caractéristique d’un dipôle (composant à deux bornes) est la courbe $u=f(i)$ qui relie tension et intensité en régime établi. Le dipôle est linéaire si c’est une droite, passif si elle passe par l’origine, symétrique si elle est invariante par $(u,i)\mapsto(-u,-i)$.

Propriété — les trois dipôles linéaires, convention récepteur.

avec $q=C\,u_C$ pour le condensateur ($q$ charge de l’armature d’où pointe la flèche de tension) ; la conductance est $G=1/R$ (${\mathrm{S}}$).

Propriété — énergies et puissance. La résistance dissipe par effet Joule une puissance toujours positive, le condensateur et la bobine stockent de l’énergie sous forme électrique et magnétique :

Idée de la démonstration : $\mathcal{P}=u_C\,i_C=C\,u_C\,\dfrac{\dd u_C}{\dd t}=\dfrac{\dd}{\dd t}\!\left(\tfrac12 Cu_C^{\,2}\right)$, et de même pour $L$.

Notation. Ordres de grandeur : résistances de ${10\,\mathrm{\Omega}}$ à ${1\,\mathrm{M\Omega}}$ ; condensateurs du ${\mathrm{nF}}$ au ${\mathrm{\text{µ}F}}$ (quelques mF pour un condensateur de filtrage) ; bobines du ${\mathrm{mH}}$ au ${\mathrm{H}}$.

Définition. Une source idéale de tension impose $u=E$ quel que soit le courant débité ; une source idéale de courant impose $i=\eta$ quelle que soit la tension à ses bornes. Aucune n’existe : une source réelle est décrite par un modèle linéaire de Thévenin, association série d’une source idéale de f.é.m. $E$ et d’une résistance interne $r$, de caractéristique $\boxed{u=E-r\,i}$ en convention générateur.

Méthode — point de fonctionnement. Un générateur débitant dans un récepteur impose le même couple $(u,i)$ aux deux dipôles : le point de fonctionnement est l’intersection des deux caractéristiques tracées dans le même repère. Si le récepteur est une résistance, la droite $u=Ri$ est la droite de charge ; s’il est non linéaire (diode, lampe), la résolution graphique est la seule méthode élémentaire.

5Les lois de Kirchhoff

Théorème — loi des nœ uds. En un nœ ud, la somme algébrique des intensités est nulle :

Idée : la charge est conservée et, dans l’ARQS, aucune charge ne s’accumule au nœ ud ; le débit entrant égale donc à chaque instant le débit sortant.

Théorème — loi des mailles. Pour toute maille orientée, la somme algébrique des tensions rencontrées est nulle :

($\varepsilon_k=+1$ si la flèche de $u_k$ est dans le sens de parcours). Idée : le potentiel est une fonction bien définie des points du circuit, donc la somme des différences de potentiel le long d’un chemin fermé est nulle.

Méthode — résoudre un réseau. (i) choisir la masse ; (ii) orienter tous les courants et flécher toutes les tensions une fois pour toutes, en convention récepteur pour les dipôles passifs ; (iii) écrire les lois des nœ uds ($n-1$ indépendantes pour $n$ nœ uds) et des mailles ; (iv) injecter les relations constitutives, résoudre, puis contrôler homogénéité et cas limites.

6Associations et ponts diviseurs

Théorème — associations. Deux résistances parcourues par le même courant sont en série ; soumises à la même tension, elles sont en parallèle :

Ces résultats s’étendent de proche en proche à un nombre quelconque de résistances.

Remarque — contrôles. $R_{\text{p}}\leq\min(R_1,R_2)\leq\max(R_1,R_2)\leq R_{\text{s}}$ : une association parallèle est plus petite que la plus petite des deux ; $R\parallel R=R/2$ et $R_1\parallel R_2\approx R_1$ dès que $R_1\ll R_2$.

Théorème — pont diviseur de tension. Si $R_1$ et $R_2$ sont en série, donc traversées par le même courant, et si $u$ est la tension aux bornes de l’ensemble, alors

Démonstration : $u=(R_1+R_2)\,i$ et $u_1=R_1\,i$ ; on élimine $i$.

Théorème — pont diviseur de courant. Si $R_1$ et $R_2$ sont en parallèle, donc soumises à la même tension, et si $i$ est l’intensité totale entrant dans l’association, alors

Démonstration : $u=R_1i_1=R_2i_2$ et $i=i_1+i_2$ ; on élimine $i_2$ puis $u$.

Remarque — diviseur chargé. Un diviseur $R_1=R_2={10\,\mathrm{k\Omega}}$ sous $u={10\,\mathrm{V}}$ délivre $u_2={5{,}0\,\mathrm{V}}$ à vide ; branchons une charge $R_u={10\,\mathrm{k\Omega}}$ en parallèle sur $R_2$ : la branche basse vaut $R_2\parallel R_u={5{,}0\,\mathrm{k\Omega}}$ et $u_2=\frac{5{,}0}{10+5{,}0}\times 10={3{,}3\,\mathrm{V}}$. La charge modifie le diviseur : c’est tout l’enjeu des résistances d’entrée.

7Résistance d’entrée, résistance de sortie

Définition. La résistance d’entrée $R_e=u_e/i_e$ d’un appareil est la résistance équivalente vue entre ses bornes d’entrée. La résistance de sortie $R_s$ d’un montage est celle de son modèle de Thévenin vu des bornes de sortie, c’est-à-dire la résistance vue de la sortie sources éteintes (source de tension idéale remplacée par un fil, source de courant idéale par un circuit ouvert).

Propriété — valeurs usuelles. Oscilloscope $R_e\approx{1\,\mathrm{M\Omega}}$ ; voltmètre numérique $R_e\approx{10\,\mathrm{M\Omega}}$ ; ampèremètre, de ${0{,}1\,\mathrm{\Omega}}$ à quelques ${\mathrm{\Omega}}$ ; GBF $R_s={50\,\mathrm{\Omega}}$ (norme).

Méthode — bien mesurer. Un voltmètre se branche en dérivation, avec $R_e\gg$ la résistance du dipôle observé ; un ampèremètre en série, avec une résistance interne $\ll$ celle de la branche ; un montage attaquant une charge $R_u$ lui transmet une tension d’autant plus proche de sa tension à vide que $R_s\ll R_u$ (adaptation en tension).

Remarque — un GBF n’est pas idéal. De f.é.m. à vide $E={5{,}00\,\mathrm{V}}$ et de résistance de sortie $R_s={50\,\mathrm{\Omega}}$, débitant dans $R_u={50\,\mathrm{\Omega}}$, il ne délivre que $u=E\,R_u/(R_s+R_u)={2{,}50\,\mathrm{V}}$ : d’où les deux graduations « charge ${50\,\mathrm{\Omega}}$ » et « haute impédance » de son afficheur.

8Bilans de puissance

Théorème — bilan global. La somme des puissances reçues par tous les dipôles d’un circuit est nulle à chaque instant, soit

Idée : écrire la loi des mailles et la multiplier par l’intensité de la maille ; chaque terme devient une puissance.

Propriété — générateur réel en charge. Une source $(E,r)$ débitant dans $R$ fournit $\mathcal{P}_{\text{f}}=E\,i$, dissipe $r\,i^2$ en interne et délivre $\mathcal{P}_{\text{u}}=R\,i^2$ à la charge, avec $i=E/(R+r)$ : le rendement $\eta=\mathcal{P}_{\text{u}}/\mathcal{P}_{\text{f}}=R/(R+r)$ est d’autant meilleur que $R\gg r$, tandis que la puissance utile est maximale pour $R=r$ (avec alors $\eta=1/2$ seulement) : rendement et puissance transmise sont deux objectifs distincts.

9Savoir-faire et démonstrations exigibles