Lois de Newton

1Masse et quantité de mouvement

Définition. La masse $m$ d’un système est une grandeur scalaire positive, additive, qui mesure son inertie, c’est-à-dire sa résistance à toute variation de vitesse. Elle s’exprime en kilogrammes et, en mécanique classique, elle est indépendante du référentiel et du mouvement.

Propriété — conservation de la masse. Un système est dit fermé s’il n’échange pas de matière avec l’extérieur. La masse d’un système fermé est constante au cours du temps : si le système se scinde en plusieurs parties, ou si plusieurs parties se réunissent, la somme des masses est inchangée. C’est cette propriété qui autorise à écrire $m$ devant la dérivée dans la deuxième loi.

Définition. La quantité de mouvement d’un point matériel $M$ de masse $m$ et de vitesse $\vv{v}(M)$ dans le référentiel $\mathcal{R}$ est

Pour un système $S$ de $N$ points matériels $M_i$ de masses $m_i$, la quantité de mouvement est additive :

Définition. Le centre de masse (ou centre d’inertie) $G$ d’un système de points $M_i$ est le point défini par

La seconde écriture montre que $G$ ne dépend pas du point $O$ choisi.

Théorème — quantité de mouvement et centre de masse. Pour un système fermé de masse totale $m=\sum_i m_i$,

Démonstration (exigible pour deux points). Soit $O$ un point fixe de $\mathcal{R}$ et deux points $M_1,M_2$ de masses $m_1,m_2$. Par définition de $G$, $(m_1+m_2)\vect{OG}=m_1\vect{OM_1}+m_2\vect{OM_2}$. Les masses étant constantes (système fermé), on dérive cette égalité par rapport au temps dans $\mathcal{R}$ :

Le cas de $N$ points est identique. La constance des masses est l’hypothèse essentielle : sans elle, la dérivation ferait apparaître des termes $\dot m_i\vect{OM_i}$.

Remarque. L’étude du mouvement d’ensemble d’un système déformable (gymnaste, fusée de feu d’artifice qui explose, chaîne) se ramène donc à celle d’un point matériel $G$ affecté de la masse totale.

2Les trois lois de Newton

Définition. Un référentiel $\mathcal{R}$ est galiléen si le principe d’inertie y est vérifié. Cette définition est expérimentale : aucun référentiel n’est galiléen « par nature », on ne peut que constater qu’il l’est à la précision et pour la durée de l’expérience considérée.

Théorème — première loi — principe d’inertie. Il existe des référentiels, dits galiléens, dans lesquels tout point matériel isolé (soumis à aucune force) ou pseudo-isolé (soumis à des forces de somme nulle) est en mouvement rectiligne uniforme — la vitesse $\vv{v}$ est un vecteur constant, éventuellement nul.

Propriété — relativité galiléenne. Si $\mathcal{R}$ est galiléen, un référentiel $\mathcal{R}'$ est galiléen si et seulement si il est en translation rectiligne uniforme par rapport à $\mathcal{R}$. Tous les référentiels galiléens sont alors équivalents : les lois de la mécanique y prennent la même forme.

Notation. Référentiels galiléens usuels, par qualité décroissante : héliocentrique (centre du Soleil, axes vers des étoiles lointaines), géocentrique (centre de la Terre, axes du précédent, galiléen sur quelques heures), terrestre (lié au sol, galiléen si l’on néglige la rotation de la Terre — ce qui suffit à presque toute expérience de laboratoire).

Théorème — deuxième loi — loi fondamentale de la dynamique. Dans un référentiel galiléen $\mathcal{R}$, pour un point matériel de masse $m$ constante soumis aux forces $\vv{F}_k$ :

Pour un système fermé de masse $m$ et de centre de masse $G$, la même relation vaut avec $\vv{a}(G)$ et la somme des forces extérieures seulement : les forces intérieures se compensent deux à deux par la troisième loi.

Théorème — troisième loi — actions réciproques. Deux points matériels $A$ et $B$ en interaction exercent l’un sur l’autre des forces opposées et portées par la droite $(AB)$ :

3Catalogue des forces usuelles

Propriété — gravitation. Deux points matériels de masses $m_A$ et $m_B$, distants de $r$, s’attirent :

où $\vv{u}_{A\to B}$ est le vecteur unitaire de $A$ vers $B$ : le signe $-$ traduit le caractère attractif.

Propriété — poids et champ de pesanteur uniforme. Au voisinage de la surface de la Terre, la force de gravitation exercée par la Terre sur un point de masse $m$ s’écrit $\vv{P}=m\,\vv{g}$, avec

Le modèle du champ de pesanteur uniforme consiste à supposer $\vv{g}$ indépendant du point : il est légitime tant que l’altitude et l’extension horizontale du mouvement restent très petites devant $R_T$. Avec $\vv{u}_z$ vertical ascendant, $\vv{g}=-g\,\vv{u}_z$.

Propriété — réaction d’un support. Un support exerce sur un point en contact une force $\vv{R}=\vv{R}_N+\vv{R}_T$, somme d’une composante normale $\vv{R}_N$ (perpendiculaire au support, dirigée du support vers le mobile) et d’une composante tangentielle $\vv{R}_T$, qui traduit le frottement. Un contact est dit sans frottement lorsque $\vv{R}_T=\vv{0}$ : $\vv{R}$ est alors normale au support. $R_N$ est une inconnue du problème : elle s’élimine ou se détermine à la fin.

Propriété — tension d’un fil. Un fil inextensible, sans masse et parfaitement souple tendu exerce sur le point auquel il est attaché une force $\vv{T}$ portée par le fil et dirigée du point vers le fil, de norme $T\geq 0$. C’est une inconnue supplémentaire : elle s’élimine par projection, ou se détermine avec l’équation restante. Un fil ne peut que tirer : si le calcul donne $T<0$, c’est que le fil s’est détendu et que le modèle ne vaut plus.

Propriété — force de rappel d’un ressort. Un ressort de raideur $k>0$ (${\mathrm{N}{\cdot}\mathrm{m}^{-1}}$) et de longueur à vide $\ell_0$, dont une extrémité est fixée en $A$ et l’autre au point $M$, exerce sur $M$ la force

Elle est dirigée vers l’intérieur si le ressort est étiré ($\ell>\ell_0$), vers l’extérieur s’il est comprimé ($\ell<\ell_0$) : le ressort rappelle toujours vers sa longueur naturelle. Pour un ressort horizontal repéré par l’écart $x=\ell-\ell_0$ à sa longueur à vide, $\vv{F}=-k\,x\,\vv{u}_x$.

Propriété — frottement fluide. Un fluide exerce sur un solide en mouvement à la vitesse $\vv{v}$ une force qui s’oppose toujours au mouvement relatif. Deux modèles :

avec $h>0$ en ${\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ et $\beta>0$ en ${\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{-1}}$, et $v=\norme{\vv{v}}$. Dans les deux cas $\vv{f}$ est colinéaire à $\vv{v}$ et de sens opposé. Le modèle linéaire décrit les petits objets lents (loi de Stokes $h=6\pi\eta a$ pour une sphère de rayon $a$ dans un fluide de viscosité $\eta$) ; le modèle quadratique décrit les objets usuels dans l’air ($\beta=\frac12\rho\,C_x\,S$, avec $S$ la section frontale et $C_x$ le coefficient de traînée, de l’ordre de $1$).

Notation. Le programme note $-k\,v\,\vv{v}$ la force quadratique ; nous écrivons $-\beta\,v\,\vv{v}$ pour réserver la lettre $k$ à la raideur d’un ressort.

Remarque. Pour compléter le catalogue : une charge $q$ subit la force de Lorentz $\vv{F}=q\,\vv{E}+q\,\vv{v}\wedge\vv{B}$, dont l’étude fait l’objet du chapitre 11. Pour un électron dans ${10^{3}\,\mathrm{V}{\cdot}\mathrm{m}^{-1}}$, le rapport de la force électrique au poids vaut $\sim 10^{13}$ : le poids d’une particule chargée est presque toujours négligeable.

4La méthode de résolution : cinq étapes, toujours les mêmes

Méthode — mise en équation. (i) Définir le système étudié — un point matériel, ou le centre de masse d’un solide — et le dire explicitement. (ii) Choisir le référentiel et le supposer galiléen en le justifiant d’un mot. (iii) Faire le bilan des forces extérieures et le représenter sur un schéma, chaque vecteur partant du point. (iv) Choisir le système de coordonnées adapté au nombre de degrés de liberté et à la géométrie (cartésiennes pour une trajectoire plane sans contrainte, cylindriques dès qu’il y a une rotation ou une distance fixée), écrire la deuxième loi vectoriellement, puis la projeter sur les vecteurs de la base. (v) Exploiter : éliminer les inconnues de liaison ($T$, $R_N$), obtenir une équation différentielle par degré de liberté, l’intégrer avec les conditions initiales.

5Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, sans frottement

Théorème — chute libre. Un point matériel de masse $m$ soumis à son seul poids, dans un référentiel galiléen, vérifie $m\vv{a}=m\vv{g}$, soit

L’accélération est indépendante de la masse : tous les corps tombent de la même façon. Le mouvement est à vecteur accélération constant. Avec $\vv{u}_z$ vertical ascendant, une vitesse initiale $\vv{v}_0$ faisant l’angle $\alpha$ avec l’horizontale $\vv{u}_x$ et une position initiale à l’origine :

Propriété — trajectoire, flèche, portée. En éliminant $t$ entre les deux équations horaires ($t=x/(v_0\cos\alpha)$, licite si $\alpha\neq\pi/2$) :

La flèche $H$ (altitude maximale, atteinte lorsque $\dot z=0$) et la portée $D$ (abscisse du retour à $z=0$) valent

La portée est maximale pour $\alpha=\pi/4$, et deux angles complémentaires $\alpha$ et $\pi/2-\alpha$ donnent la même portée. Durée du vol : $t_v=2v_0\sin\alpha/g$.

6Mouvement avec frottement fluide : exploiter sans résoudre

Théorème — chute verticale, frottement linéaire. Avec $\vv{u}_z$ descendant et le seul poids et frottement $-h\vv{v}$, la projection de $m\vv{a}=m\vv{g}-h\vv{v}$ donne

Propriété — vitesse limite et temps caractéristique. La vitesse limite $v_\ell$ s’obtient sans résoudre, en cherchant le régime permanent $\dd v/\dd t=0$ :

$\tau$ est le temps caractéristique d’établissement du régime limite ; le régime permanent est atteint au bout de quelques $\tau$. La distance parcourue pendant l’établissement est de l’ordre de $v_\ell\tau$.

Méthode — équation adimensionnée. On pose $V=\dfrac{v}{v_\ell}$ et $s=\dfrac{t}{\tau}$. L’équation devient, sans aucun paramètre :

Une seule courbe décrit donc toutes les chutes du même modèle : c’est tout l’intérêt de l’adimensionnement. On lit sur cette courbe universelle, sans calcul, la durée de la phase transitoire et l’écart à la vitesse limite.

Propriété — lecture qualitative d’une équation différentielle. Sans la résoudre, on tire de $\dd v/\dd t=g-v/\tau$ : la pente initiale $\dd v/\dd t(0)=g$ (le frottement est négligeable au démarrage, la chute commence comme une chute libre) ; le signe de $\dd v/\dd t$ (positif si $v<v_\ell$, négatif si $v>v_\ell$), donc la croissance monotone vers $v_\ell$ et la stabilité de ce régime ; la concavité (la courbe est concave). L’intersection de la tangente à l’origine avec l’asymptote $v=v_\ell$ a pour abscisse $\tau$.

Méthode — capacité numérique : méthode d’Euler. L’équation $\dd v/\dd t=g-\beta v^{2}/m$ n’est pas linéaire : on la résout numériquement. Le schéma d’Euler explicite, avec un pas $h_p$ petit devant $\tau$, s’écrit $v_{k+1}=v_k+h_p\,g\bigl(1-(v_k/v_\ell)^{2}\bigr)$ :

import numpy as np
g, m, beta = 9.81, 80.0, 0.259        # parachutiste, chute libre bras en croix
vl = np.sqrt(m * g / beta)            # vitesse limite (m/s)
tau = vl / g                          # temps caracteristique (s)
hp = tau / 200                        # pas : petit devant tau
t = np.arange(0.0, 6 * tau, hp)
v = np.zeros(len(t))                  # v[0] = 0 : depart au repos
z = np.zeros(len(t))                  # distance de chute
for k in range(len(t) - 1):
    v[k + 1] = v[k] + hp * g * (1 - (v[k] / vl) ** 2)
    z[k + 1] = z[k] + hp * v[k]

Remarque. On exploite ensuite la simulation : lecture de la vitesse à une date donnée, de la date à laquelle $v$ atteint $99\,\%$ de $v_\ell$, de la distance de chute, comparaison à la chute libre $v=gt$. Contrôle indispensable : diviser le pas par deux et vérifier que le résultat ne change pas.

7Oscillateur mécanique et pendule simple

Théorème — masse-ressort horizontal. Un point $M$ de masse $m$ glisse sans frottement sur un axe horizontal $(Ox)$, rappelé par un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide $\ell_0$ fixé en $O$. On repère $M$ par $x=\ell-\ell_0$. Les forces sont le poids $-mg\vv{u}_z$, la réaction normale $R_N\vv{u}_z$ et le rappel $-kx\,\vv{u}_x$. La deuxième loi projetée donne

C’est l’oscillateur harmonique du chapitre 5 : $T_0=2\pi\sqrt{m/k}$, indépendante de l’amplitude (isochronisme).

Théorème — masse-ressort vertical. Pour un ressort vertical, le poids ne fait que déplacer la position d’équilibre sans changer la pulsation. En repérant $M$ par son allongement $X=\ell-\ell_0$ mesuré vers le bas, $m\ddot X=mg-kX$ ; la position d’équilibre est $X_{\text{eq}}=mg/k$ et, en posant $u=X-X_{\text{eq}}$,

Méthode à retenir : repérer le mobile par son écart à la position d’équilibre fait disparaître le poids de l’équation.

Théorème — pendule simple. Un point $M$ de masse $m$ est suspendu en $O$ par un fil inextensible sans masse de longueur $\ell$ ; on repère sa position par l’angle $\theta$ du fil avec la verticale descendante. Le mouvement étant circulaire de rayon $\ell$, on travaille en coordonnées polaires $(\vv{u}_r,\vv{u}_\theta)$ d’origine $O$, avec $r=\ell$ constant, donc $\vv{a}=-\ell\dot\theta^{\,2}\vv{u}_r+\ell\ddot\theta\,\vv{u}_\theta$. Les forces sont le poids $m\vv{g}$, de composantes $mg\cos\theta\,\vv{u}_r-mg\sin\theta\,\vv{u}_\theta$, et la tension $\vv{T}=-T\,\vv{u}_r$. La deuxième loi se projette en

La projection sur $\vv{u}_\theta$ élimine la tension et donne l’équation du mouvement ; celle sur $\vv{u}_r$ donne ensuite $T=m\bigl(g\cos\theta+\ell\dot\theta^{\,2}\bigr)$. L’équation du mouvement est non linéaire : elle ne se résout pas avec les fonctions usuelles.

Théorème — approximation des petites oscillations. Si $\abs{\theta}\ll 1$ rad, $\sin\theta=\theta+O(\theta^{3})\approx\theta$ et l’équation devient celle d’un oscillateur harmonique :

La période ne dépend ni de la masse, ni de l’amplitude : c’est l’isochronisme des petites oscillations. Validité : l’erreur relative sur $\sin\theta$ vaut $\theta^{2}/6$, soit $0{,}5\,\%$ pour $\theta_0={10^{\circ}}$ et $2\,\%$ pour $\theta_0={20^{\circ}}$. Au-delà, la période augmente avec l’amplitude (non-isochronisme), ce que seule une résolution numérique met en évidence.

8Mouvement avec liaison

Méthode — point astreint à rester sur une courbe ou une surface. La liaison réduit le nombre de degrés de liberté et introduit une force de liaison inconnue (réaction $\vv{R}_N$, tension $\vv{T}$). On choisit les coordonnées qui rendent la liaison triviale : $r=\ell$ pour un pendule, $z=0$ pour un mouvement dans un plan horizontal, un axe le long de la ligne de plus grande pente pour un plan incliné. On projette alors sur la direction tangente au mouvement pour obtenir l’équation du mouvement débarrassée de la force de liaison, puis sur la direction normale pour calculer celle-ci.

9Démonstrations à savoir refaire

• $\vv{p}=m\vv{v}_G$ pour deux points : dériver la définition de $G$, en invoquant la constance des masses.
• Équations horaires et trajectoire de la chute libre ; en déduire flèche, portée, angle de portée maximale.
• Équation du mouvement d’une chute avec frottement (linéaire et quadratique), vitesse limite sans résolution, équation adimensionnée.
• Équation du pendule simple : coordonnées polaires, projection sur $\vv{u}_\theta$ (qui élimine $T$), puis sur $\vv{u}_r$ (qui donne $T$).
• Linéarisation $\sin\theta\approx\theta$ et période des petites oscillations ; estimation du domaine de validité.
• Masse-ressort vertical : la position d’équilibre se déplace de $mg/k$, la pulsation ne change pas.
• Plan incliné : $a=g\sin\alpha$ et $R_N=mg\cos\alpha$ ; $g=GM_T/R_T^{\,2}$ à partir de la loi de gravitation.

10Savoir-faire du chapitre