Moment cinétique et forces centrales

1Moment d’une force

Définition. Soit un point matériel $M$ soumis à une force $\vv{F}$ et soit $O$ un point de l’espace. Le moment de $\vv{F}$ par rapport au point $O$ est le vecteur $\vv{\mathcal{M}}_O(\vv{F})=\vect{OM}\wedge\vv{F}$, en ${\mathrm{N}{\cdot}\mathrm{m}}$. Il dépend du point choisi : un moment n’a aucun sens si l’on ne précise pas le point (ou l’axe) de référence.

Définition. Soit $\Delta$ un axe orienté passant par $O$, de vecteur unitaire $\vv{u}$. Le moment de $\vv{F}$ par rapport à $\Delta$ est le scalaire $\mathcal{M}_\Delta(\vv{F})=\vv{\mathcal{M}}_O(\vv{F})\cdot\vv{u}$. Il ne dépend pas du point $O$ choisi sur l’axe : si $O'\in\Delta$, $\vect{O'O}$ est colinéaire à $\vv{u}$ et $\bigl(\vect{O'O}\wedge\vv{F}\bigr)\cdot\vv{u}=0$ (produit mixte de deux vecteurs colinéaires).

Théorème — bras de levier. Décomposons $\vv{F}=\vv{F}_\parallel+\vv{F}_\perp$ en composantes parallèle et orthogonale à $\Delta$. Seule $\vv{F}_\perp$ contribue, et

où $d$, le bras de levier, est la distance de l’axe $\Delta$ à la droite d’action de $\vv{F}_\perp$. Le signe est $+$ si $\vv{F}$ tend à faire tourner $M$ dans le sens positif autour de $\Delta$ (règle de la main droite appliquée à $\vv{u}$), $-$ sinon.

2Moment cinétique

Définition. Le moment cinétique en $O$ d’un point matériel $M$ de masse $m$ et de vitesse $\vv{v}$ dans un référentiel $\mathcal{R}$ est

et son moment cinétique par rapport à l’axe orienté $\Delta=(O,\vv{u})$ est le scalaire $L_\Delta=\vv{L}_O\cdot\vv{u}$. Pour un système discret de points, les deux grandeurs sont additives : $\vv{L}_O(S)=\sum_i\vect{OM_i}\wedge m_i\vv{v}_i$.

Propriété — lecture géométrique. $\vv{L}_O$ est orthogonal au plan $(O,\vect{OM},\vv{v})$, son sens est donné par la règle de la main droite appliquée à la rotation de $M$ autour de $O$, et $\norme{\vv{L}_O}=m\,v\,d$ où $d$ est la distance de $O$ à la droite support de $\vv{v}$. Donc $\vv{L}_O=\vv{0}$ si et seulement si $\vv{v}=\vv{0}$ ou si le support de $\vv{v}$ passe par $O$ : un mouvement rectiligne dont le support passe par $O$ a un moment cinétique nul en $O$. Le caractère algébrique de $L_\Delta$ donne le sens de rotation : $L_\Delta>0$ signifie que $M$ tourne autour de $\Delta$ dans le sens positif.

Propriété — en coordonnées polaires. Pour un mouvement du plan $(Oxy)$, $\vect{OM}=r\,\vv{u}_r$ et $\vv{v}=\dot r\,\vv{u}_r+r\dot\theta\,\vv{u}_\theta$, donc

La composante radiale de la vitesse ne contribue pas au moment cinétique en $O$ ; pour un cercle de rayon $R$, $L_{Oz}=mR^{2}\dot\theta$.

3Théorème du moment cinétique

Théorème — TMC en un point fixe. Dans un référentiel galiléen $\mathcal{R}$, soit $O$ un point fixe de $\mathcal{R}$. Pour un point matériel de masse constante soumis aux forces $\vv{F}_k$ :

Démonstration (exigible). $\dfrac{\dd\vv{L}_O}{\dd t}=\underbrace{\vv{v}\wedge m\vv{v}}_{=\vv{0}}+\vect{OM}\wedge m\vv{a}$, car $O$ est fixe donc $\dd\vect{OM}/\dd t=\vv{v}$ ; la deuxième loi de Newton donne $m\vv{a}=\sum_k\vv{F}_k$.

Méthode — utiliser le TMC scalaire. C’est la forme la plus efficace pour une rotation : elle fournit l’équation du mouvement en éliminant toutes les forces dont la droite d’action coupe l’axe. Pendule simple ($M$ suspendu en $O$ par un fil de longueur $\ell$, angle $\theta$ avec la verticale descendante) : $L_{Oz}=m\ell^{2}\dot\theta$, le moment de la tension est nul et celui du poids vaut $-mg\ell\sin\theta$ (bras de levier $\ell\sin\theta$), d’où $m\ell^{2}\ddot\theta=-mg\ell\sin\theta$, soit $\ddot\theta+\frac{g}{\ell}\sin\theta=0$ sans faire intervenir la tension.

Théorème — conservation. Si $\sum_k\vv{\mathcal{M}}_O(\vv{F}_k)=\vv{0}$, alors $\vv{L}_O$ est un vecteur constant ; si seulement $\sum_k\mathcal{M}_\Delta(\vv{F}_k)=0$, alors $L_\Delta$ est constant. On cherche donc un point (ou un axe) annulant tous les moments : forces centrales de centre $O$, pivot idéal, forces parallèles à $\Delta$ ou dont la droite d’action coupe $\Delta$.

4Mouvement dans un champ de force centrale

Définition. Un point matériel est soumis à un champ de force centrale de centre $O$ si, à tout instant, $\vv{F}=F\,\vv{u}_r$ avec $\vv{u}_r=\vect{OM}/r$ : la force est portée par la droite $(OM)$. Elle est attractive si $F<0$, répulsive si $F>0$.

Théorème — planéité. Une force centrale de centre $O$ a un moment nul en $O$ (deux vecteurs colinéaires), donc le TMC donne $\vv{L}_O=\vv{L}_0$ constant. Si $\vv{L}_0\neq\vv{0}$ : comme $\vect{OM}\cdot\vv{L}_O=\vect{OM}\cdot(\vect{OM}\wedge m\vv{v})=0$ à tout instant, $M$ reste dans le plan passant par $O$ et orthogonal à $\vv{L}_0$ — le mouvement est plan, ce plan étant fixé par les conditions initiales. Si $\vv{L}_0=\vv{0}$, la vitesse initiale est radiale et le mouvement est rectiligne sur la droite $(OM_0)$.

Théorème — loi des aires. On travaille en coordonnées polaires dans le plan du mouvement, $(Oz)$ étant orienté par $\vv{L}_0$. La conservation de $L=L_{Oz}=mr^{2}\dot\theta$ s’écrit

$C$ est la constante des aires et $\dd\mathcal{A}/\dd t$ la vitesse aréolaire : le rayon vecteur balaie des aires égales en des durées égales (deuxième loi de Kepler, valable pour toute force centrale). Conséquence qualitative : le mobile va d’autant plus vite qu’il est près du centre. Enfin $C$ et $\dot\theta$ gardent le signe de $C$ : le sens de rotation ne change jamais et $r$ ne s’annule pas.

5Force centrale conservative : l’énergie potentielle effective

Propriété. Une force centrale dont la norme ne dépend que de $r$, $\vv{F}=F(r)\,\vv{u}_r$, est conservative : elle dérive de $E_\text{p}(r)$ avec $F(r)=-\dd E_\text{p}/\dd r$, et $E_\text{m}=E_\text{c}+E_\text{p}$ est constante.

Théorème — énergie potentielle effective. $E_\text{c}=\frac12 m(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2})$ ; en éliminant $\dot\theta$ grâce à $r^{2}\dot\theta=C=L/m$ :

Le problème est ramené à un mouvement à une dimension sur $r>0$ : on applique la lecture graphique du chapitre d’énergétique. Le terme $L^{2}/(2mr^{2})$, positif et décroissant, est le terme centrifuge ; il interdit au mobile d’atteindre le centre dès que $L\neq 0$.

Méthode — lire le mouvement radial. Les valeurs de $r$ accessibles sont celles où la droite horizontale $E_\text{m}$ est au-dessus de la courbe $E_{\text{p,eff}}$. Les racines de $E_\text{m}=E_{\text{p,eff}}(r)$ donnent $\dot r=0$ : ce sont le péricentre $r_{\min}$ et l’apocentre $r_{\max}$. Si $r$ reste borné, le mouvement est un état lié ; s’il peut tendre vers $+\infty$, c’est un état de diffusion. Si $E_\text{m}$ vaut le minimum de $E_{\text{p,eff}}$, alors $\dot r=0$ en permanence : $r$ est constant, la trajectoire est un cercle.

6Le champ newtonien

Définition. Un champ de force centrale est newtonien s’il varie en $1/r^{2}$ :

attractif si $K>0$, répulsif si $K<0$. Gravitation : $K=GMm>0$. Interaction coulombienne entre deux charges : $K=-\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}$, donc $E_\text{p}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r}$ — attractive pour des charges opposées, répulsive sinon.

Propriété — allure de $E_{\text{p,eff}}$, cas attractif. Avec $K>0$ et $L\neq 0$, le terme centrifuge domine en $0^+$ ($E_{\text{p,eff}}\to+\infty$) et le terme newtonien à l’infini ($E_{\text{p,eff}}\to 0^-$) : la courbe présente un unique minimum, en

On lit alors la nature du mouvement : $E_\text{m}=E_{\text{p,eff}}(r_0)$ donne un cercle de rayon $r_0$ ; $E_{\text{p,eff}}(r_0)<E_\text{m}<0$ donne un état lié, $r$ oscillant entre $r_{\min}$ et $r_{\max}$ — la trajectoire est alors une ellipse (résultat admis) ; $E_\text{m}\geq 0$ donne un état de diffusion. Dans le cas répulsif, $E_{\text{p,eff}}$ est strictement décroissante et positive : il n’existe aucun état lié.

Théorème — lois de Kepler. (1) Dans le référentiel héliocentrique, chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe un foyer. (2) Le segment Soleil-planète balaie des aires égales pendant des durées égales. (3) Le rapport $T^{2}/a^{3}$ de la période de révolution au cube du demi-grand axe est le même pour toutes les planètes : $\dfrac{T^{2}}{a^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM_S}$. Ces trois lois se transposent aux satellites d’une même planète, en remplaçant $M_S$ par la masse de la planète. Attention : $T^{2}/a^{3}$ n’est universelle que pour des corps tournant autour du même centre attracteur ; les constantes d’un satellite terrestre et d’une planète diffèrent d’un facteur $M_S/M_T\approx 3\times 10^{5}$.

7Le mouvement circulaire : tout est calculable

Théorème — uniformité. Si un point matériel soumis au seul champ newtonien attractif décrit un cercle de centre $O$, son mouvement est uniforme. Démonstration (exigible). Le théorème de la puissance cinétique donne $\dd E_\text{c}/\dd t=\vv{F}\cdot\vv{v}$ ; or $\vv{F}$ est radiale et, sur un cercle, $\vv{v}=r\dot\theta\,\vv{u}_\theta$ est orthoradiale, donc $\vv{F}\cdot\vv{v}=0$ et $v$ est constante. (Variante : la projection de $m\vv{a}=\vv{F}$ sur $\vv{u}_\theta$ donne $mr\ddot\theta=0$.)

Théorème — vitesse, période, troisième loi. Sur ce cercle $\vv{a}=-\dfrac{v^{2}}{r}\vv{u}_r$ ; la projection de la deuxième loi sur $\vv{u}_r$ donne $-m\dfrac{v^{2}}{r}=-\dfrac{K}{r^{2}}$, d’où, avec $K=GMm$ :

La masse du satellite n’intervient pas. Plus l’orbite est haute, plus le satellite est lent ($v\propto r^{-1/2}$) et plus sa période est longue ($T\propto r^{3/2}$).

Théorème — énergie d’une orbite. Sur le cercle $E_\text{c}=\frac12 mv^{2}=\dfrac{GMm}{2r}=-\frac12 E_\text{p}$, donc

L’énergie mécanique ne dépend que du demi-grand axe, pas de la forme de l’ellipse ; le cercle est le cas $a=r$.

Remarque. Passer d’une orbite circulaire $r_1$ à une orbite $r_2>r_1$ coûte $\Delta E_\text{m}=\frac12 GM_Tm\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)>0$ : monter coûte de l’énergie bien que le satellite y soit plus lent.

8Satellites terrestres et vitesses cosmiques

Théorème — satellite géostationnaire. Un satellite géostationnaire reste à la verticale du même point de la Terre : son mouvement est circulaire uniforme, de période sidérale $T_0={23\,\mathrm{h}}\,{56\,\mathrm{min}}\,{4\,\mathrm{s}}={86\,164\,\mathrm{s}}$, dans le sens de rotation de la Terre, et son plan orbital est le plan équatorial. En effet le centre $O$ de la Terre appartient nécessairement au plan de l’orbite ; or le point survolé décrit un cercle d’axe l’axe des pôles, et le seul plan contenant $O$ et un tel cercle est le plan équatorial — une orbite inclinée ferait osciller le satellite en latitude. Numériquement

Propriété — orbites et missions. LEO ($h\sim{400\,\mathrm{km}}$, $T\approx{90\,\mathrm{min}}$) : station spatiale, observation à haute résolution, couverture intermittente. Polaire héliosynchrone ($h\sim{800\,\mathrm{km}}$) : chaque point du globe survolé à la même heure solaire locale — météorologie. MEO ($h\sim{20\,000\,\mathrm{km}}$, $T\approx{12\,\mathrm{h}}$) : navigation (GPS, Galileo), qui exige de voir plusieurs satellites à la fois. GEO : télécommunications, antenne au sol fixe, mais pôles invisibles et retard de ${0{,}24\,\mathrm{s}}$ à l’aller-retour.

Théorème — vitesses cosmiques. La première vitesse cosmique est celle d’une orbite circulaire rasante, $v_1=\sqrt{GM_T/R_T}={7{,}91\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$. La vitesse de libération est la vitesse minimale de lancement permettant d’atteindre l’infini ; l’état est de diffusion si $E_\text{m}\geq 0$, soit $\frac12 mv^{2}\geq\dfrac{GM_Tm}{R_T}$ :

Elle est indépendante de la direction de lancement et de la masse du projectile : c’est une condition purement énergétique.

9Capacité numérique et démonstrations exigibles

Méthode — tracer une trajectoire. On intègre le système du premier ordre sur $(x,y,v_x,v_y)$ avec $\mu=GM$ : $\dot x=v_x$, $\dot y=v_y$, $\dot v_x=-\mu x/(x^{2}+y^{2})^{3/2}$, $\dot v_y=-\mu y/(x^{2}+y^{2})^{3/2}$.

import numpy as np
mu, h, N = 3.982e14, 1.0, 40000          # G*M_T (SI), pas de temps, nombre de pas
X = np.zeros((N, 4)) ; X[0] = [7.0e6, 0.0, 0.0, 8.2e3]
def f(e):
    x, y, vx, vy = e ; d = (x * x + y * y) ** 1.5
    return np.array([vx, vy, -mu * x / d, -mu * y / d])
for k in range(N - 1):                   # Euler explicite
    X[k + 1] = X[k] + h * f(X[k])

Remarque. Deux contrôles indispensables : $C=xv_y-yv_x$ et $E_\text{m}/m=\frac12(v_x^{2}+v_y^{2})-\mu/\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ doivent rester constants. Avec Euler explicite ils dérivent et l’orbite « spirale » : réduire $h$, ou passer à un schéma semi-implicite.