Machines thermiques

1Qu’est-ce qu’une machine thermique ?

Définition. Une machine thermique est un dispositif dans lequel un fluide (l’agent thermodynamique : eau, air, fluide frigorigène) décrit une suite de transformations en échangeant du travail et des transferts thermiques avec le milieu extérieur. Elle est dite cyclique lorsque le fluide revient périodiquement dans le même état : sur un cycle, l’état initial et l’état final sont identiques.

Définition. Un thermostat (ou source de chaleur) est un système dont la température reste uniforme et constante quels que soient les transferts thermiques qu’il échange : atmosphère, fleuve, sol, local climatisé, foyer de combustion entretenu. Une machine est monotherme si elle n’échange de transfert thermique qu’avec un seul thermostat, ditherme si elle en échange avec exactement deux, notés $T_c$ (source chaude) et $T_f$ (source froide), avec $T_c>T_f>0$.

Notation. Le système étudié est le fluide, et toutes les énergies sont comptées positivement lorsqu’elles sont reçues par le fluide : $W$ est le travail reçu sur un cycle (travail des forces de pression et travail d’un arbre), $Q_c$ et $Q_f$ les transferts thermiques reçus respectivement de la source chaude et de la source froide. Les températures sont toujours en kelvins. Si la machine décrit $f$ cycles par seconde, les puissances valent $\mathcal{P}=f\,W$, $\mathcal{P}_c=f\,Q_c$, $\mathcal{P}_f=f\,Q_f$.

2Les deux principes appliqués à un cycle

Théorème — premier principe sur un cycle. $U$ est une fonction d’état : sur un cycle, $\Delta U=0$. Le premier principe $\Delta U=W+Q$ donne donc

Théorème — deuxième principe sur un cycle. $S$ est une fonction d’état : sur un cycle, $\Delta S=0$. Le deuxième principe $\Delta S=S_{\text{éch}}+S_{\text{créée}}$ avec $S_{\text{éch}}=\dfrac{Q_c}{T_c}+\dfrac{Q_f}{T_f}$ donne $\dfrac{Q_c}{T_c}+\dfrac{Q_f}{T_f}+S_{\text{créée}}=0$, et comme $S_{\text{créée}}\geq 0$ :

avec égalité si et seulement si le cycle est réversible.

Méthode — la machine proposée est-elle possible ?. Trois tests, dans cet ordre : (i) le premier principe, $W+Q_c+Q_f=0$ ; (ii) l’inégalité de Clausius ; (iii) conclusion — si Clausius est violée la machine est impossible, si l’égalité est atteinte elle est réversible, sinon elle est possible et irréversible, avec

3Le sens des échanges

Théorème — impossibilité du moteur monotherme. Pour une machine cyclique monotherme en contact avec un thermostat $T_0$, l’inégalité de Clausius se réduit à $Q/T_0\leq 0$, donc $Q\leq 0$ et, par le premier principe, $W=-Q\geq 0$ : une machine cyclique monotherme ne peut que recevoir du travail. Il est impossible de produire du travail en se contentant de refroidir l’océan ou l’atmosphère.

Propriété — les signes sont imposés. Soit une machine cyclique ditherme.

• Si elle est motrice ($W<0$ : elle fournit du travail), alors nécessairement $Q_c>0$ et $Q_f<0$ : le moteur prélève de la chaleur à la source chaude et en cède à la source froide.
• Si elle est réceptrice ($W>0$ : elle consomme du travail) et transfère effectivement de la chaleur du froid vers le chaud, alors $Q_f>0$ et $Q_c<0$.

Idée de la démonstration pour le moteur : si l’on avait $Q_c\leq 0$, alors $Q_f=-W-Q_c>0$ et, puisque $\frac{1}{T_c}<\frac{1}{T_f}$ et $Q_c\leq 0$, $\frac{Q_c}{T_c}+\frac{Q_f}{T_f}\geq\frac{Q_c+Q_f}{T_f}=\frac{-W}{T_f}>0$, ce qui contredit Clausius. Donc $Q_c>0$, et Clausius donne alors $Q_f\leq -\frac{T_f}{T_c}\,Q_c<0$.

4Le moteur ditherme : rendement et théorème de Carnot

Définition. Le rendement d’un moteur ditherme est le rapport de l’énergie utile (le travail fourni, $\abs{W}=-W$) à l’énergie coûteuse (la chaleur prélevée à la source chaude, $Q_c>0$) :

Théorème — théorème de Carnot. Le rendement d’un moteur cyclique ditherme fonctionnant entre les thermostats $T_c$ et $T_f$ vérifie

avec égalité si et seulement si le moteur est réversible. Le rendement maximal ne dépend que des températures des thermostats : ni du fluide, ni de la forme du cycle, ni de la taille de la machine.

Démonstration (exigible) : le premier principe donne $-W=Q_c+Q_f$, donc

L’inégalité de Clausius $\dfrac{Q_c}{T_c}+\dfrac{Q_f}{T_f}\leq 0$ s’écrit, puisque $Q_c>0$ et $T_f>0$, $\dfrac{Q_f}{Q_c}\leq -\dfrac{T_f}{T_c}$. En reportant : $\eta\leq 1-\dfrac{T_f}{T_c}$. L’égalité a lieu exactement quand $S_{\text{créée}}=0$.

Remarque. Le théorème de Carnot est une conséquence du deuxième principe : c’est lui, et non le premier, qui interdit $\eta=1$. On retient aussi la forme équivalente $\eta=\eta_C-\dfrac{T_f\,S_{\text{créée}}}{Q_c}$ : tout ce qui manque au rendement de Carnot est de l’entropie créée.

5Réfrigérateur et pompe à chaleur : les efficacités

Définition. Pour un récepteur ($W>0$, $Q_f>0$, $Q_c<0$), on définit deux grandeurs selon l’usage :

L’utile est le froid produit dans le premier cas, la chaleur fournie dans le second. On parle d’efficacité (ou de coefficient de performance, COP), jamais de rendement.

Théorème — théorème de Carnot pour les récepteurs. En reprenant la démonstration avec $W>0$ :

avec égalité si et seulement si la machine est réversible.

Idée de la démonstration : $W=-Q_c-Q_f$ ; Clausius s’écrit $-Q_c\geq\frac{T_c}{T_f}Q_f$, d’où $W\geq Q_f\,\frac{T_c-T_f}{T_f}$ et le premier résultat. Pour la pompe à chaleur, Clausius donne $Q_f\leq-\frac{T_f}{T_c}Q_c$, donc $W\geq\abs{Q_c}\left(1-\frac{T_f}{T_c}\right)$.

Propriété — une identité à connaître. Pour une même machine, $\abs{Q_c}=W+Q_f$, donc

Les deux bornes de Carnot vérifient bien $\dfrac{T_c}{T_c-T_f}=\dfrac{T_f}{T_c-T_f}+1$.

6Le cycle de Carnot et sa lecture dans le diagramme de Clapeyron

Définition. Le cycle de Carnot est le cycle réversible ditherme : il est constitué de deux isothermes réversibles (aux températures $T_c$ et $T_f$, pendant lesquelles le fluide échange avec les thermostats) et de deux adiabatiques réversibles, donc isentropiques (pendant lesquelles il passe d’une température à l’autre sans échanger de chaleur).

Remarque. Cette structure est imposée : un transfert thermique réversible exige l’égalité des températures du fluide et du thermostat, donc une transformation isotherme ; et pour passer de $T_f$ à $T_c$ sans contact avec un troisième thermostat, il faut une adiabatique. C’est pourquoi tous les cycles réversibles dithermes sont des cycles de Carnot.

Théorème — cycle de Carnot d’un gaz parfait. Pour $n$ moles de gaz parfait décrivant $A\to B$ (isotherme $T_c$), $B\to C$ (isentropique), $C\to D$ (isotherme $T_f$), $D\to A$ (isentropique), la loi de Laplace sous la forme $TV^{\gamma-1}=\text{cte}$ impose $\dfrac{V_C}{V_D}=\dfrac{V_B}{V_A}$. Avec $\Delta U=0$ sur une isotherme de gaz parfait,

On retrouve le rendement de Carnot, indépendamment de $n$, de $\gamma$ et du rapport de compression.

Propriété — lecture d’un cycle dans le diagramme de Clapeyron. Le travail des forces de pression reçu par le fluide au cours d’un cycle quasi statique et mécaniquement réversible vaut $W=-\displaystyle\oint P\,\dd V$. Donc, dans le plan $(V,P)$ :

• $\abs{W}$ est l’aire du cycle ;
• cycle parcouru dans le sens horaire $\Rightarrow \oint P\,\dd V>0 \Rightarrow W<0$ : la machine est motrice ;
• cycle parcouru dans le sens antihoraire $\Rightarrow W>0$ : la machine est réceptrice.

7Modéliser un dispositif concret

Méthode — analyser une machine réelle. (i) identifier le fluide qui décrit le cycle ; (ii) identifier les deux thermostats et leurs températures en kelvins ; (iii) déterminer le sens (moteur ou récepteur) et donc les signes ; (iv) nommer l’énergie utile et l’énergie coûteuse, écrire le rendement ou l’efficacité ; (v) appliquer les deux principes sur un cycle ; (vi) comparer à la borne de Carnot et commenter l’écart.

8La cogénération

Définition. La cogénération consiste à produire simultanément, à partir d’un même combustible, de l’électricité (ou du travail mécanique) et de la chaleur effectivement utilisée. Son rendement global est

où $Q_{\text{utile}}=\abs{Q_f}$ est la part du transfert thermique rejeté qui est valorisée (chauffage urbain, eau chaude sanitaire, procédé industriel).

Propriété — le principe. Dans une centrale classique, le transfert $\abs{Q_f}$, inévitable d’après le deuxième principe, est perdu dans un fleuve ou dans l’air : $55$ à $65\,\%$ du combustible. La cogénération ne supprime pas ce rejet — c’est impossible — elle le rend utilisable en élevant $T_f$ jusqu’à une température exploitable (${60{}^{\circ}\mathrm{C}}$ à ${90{}^{\circ}\mathrm{C}}$) ; le rendement global atteint alors $0{,}80$ à $0{,}90$.

9Démonstrations et résultats à savoir refaire

• Inégalité de Clausius à partir de $\Delta U=0$, $\Delta S=0$ et du deuxième principe ; impossibilité du moteur monotherme.
• Sens imposé des échanges pour un moteur : raisonnement par l’absurde à partir de Clausius.
• Théorème de Carnot pour le moteur, le réfrigérateur et la pompe à chaleur ; $e_{\text{PAC}}=e_{\text{frigo}}+1$.
• Cycle de Carnot d’un gaz parfait : les quatre étapes, $V_C/V_D=V_B/V_A$ par la loi de Laplace, $Q_c$, $Q_f$, $\eta=1-T_f/T_c$.
• $\abs{W}=$ aire du cycle dans le diagramme de Clapeyron, et lien sens de parcours / nature de la machine ; $\eta=\eta_C-T_f S_{\text{créée}}/Q_c$.