Gaz parfait et premier principe

1Le modèle du gaz parfait

Définition. Dans le modèle du gaz parfait, les entités (atomes ou molécules) sont ponctuelles — leur volume propre est négligeable devant celui du récipient —, elles n’ont aucune interaction entre elles, et leurs chocs sur les parois sont élastiques. Elles sont animées d’un mouvement désordonné permanent : l’agitation thermique.

Propriété — interprétation microscopique. La pression $P$ résulte des chocs incessants des entités sur les parois : elle augmente si les chocs sont plus fréquents (plus d’entités, volume plus petit) ou plus violents. La température thermodynamique $T$ mesure l’énergie cinétique moyenne d’agitation d’une entité : elle est d’autant plus grande que les entités vont vite. La masse volumique $\rho=m/V$ traduit, pour un gaz donné, le nombre d’entités par unité de volume.

Remarque. Le modèle cesse d’être valable à forte pression (le volume propre des entités n’est plus négligeable) et à basse température (les interactions attractives deviennent sensibles : le gaz se liquéfie).

2Équation d’état

Propriété. Pour $n$ moles de gaz parfait : $\boxed{P\,V=n\,R\,T}$ avec $P$ en ${\mathrm{Pa}}$, $V$ en ${\mathrm{m}^{3}}$, $n$ en ${\mathrm{mol}}$, $R={8{,}314\,\mathrm{J}{\cdot}\mathrm{K}^{-1}{\cdot}\mathrm{mol}^{-1}}$ et $T$ en ${\mathrm{K}}$, avec $T\,({\mathrm{K}})=\theta\,({{}^{\circ}\mathrm{C}})+273{,}15$. En conséquence, pour un gaz de masse molaire $M$ : $\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{n\,M}{V}=\dfrac{P\,M}{R\,T}$.

Notation. Une transformation est isotherme si $T$ est constante (alors $PV=$ constante : loi de Mariotte), isobare si $P$ est constante ($V/T=$ constante), isochore si $V$ est constant ($P/T=$ constante). Entre deux états d’une même quantité de gaz : $\dfrac{P_1V_1}{T_1}=\dfrac{P_2V_2}{T_2}$.

Méthode — appliquer $PV=nRT$. convertir d’abord toutes les grandeurs en unités du système international (${\mathrm{Pa}}$, ${\mathrm{m}^{3}}$, ${\mathrm{K}}$) ; ne jamais utiliser de température en ${{}^{\circ}\mathrm{C}}$ dans cette relation.

3Énergie interne

Définition. L’énergie interne $U$ d’un système (en ${\mathrm{J}}$) est la somme des énergies microscopiques qu’il contient : énergies cinétiques d’agitation des entités et énergies potentielles d’interaction entre elles. Elle ne comprend ni l’énergie cinétique d’ensemble ni l’énergie potentielle de pesanteur du système.

Propriété. Pour un système incompressible (solide ou liquide), $U$ ne dépend que de la température :

où $c$ est la capacité thermique massique (${\mathrm{J}{\cdot}\mathrm{kg}^{-1}{\cdot}\mathrm{K}^{-1}}$), $C=m\,c$ la capacité thermique du système (${\mathrm{J}{\cdot}\mathrm{K}^{-1}}$) et $\Delta T=T_{\text{f}}-T_{\text{i}}$. Une variation de température a la même valeur en ${\mathrm{K}}$ et en ${{}^{\circ}\mathrm{C}}$.

Propriété — changement d’état. À température constante, la fusion, la vaporisation ou leur inverse mettent en jeu $Q=\pm\,m\,L$, où $L$ est l’énergie massique de changement d’état (${\mathrm{J}{\cdot}\mathrm{kg}^{-1}}$) : $Q>0$ pour une fusion ou une vaporisation (le système reçoit), $Q<0$ pour une solidification ou une liquéfaction.

4Premier principe de la thermodynamique

Théorème. Pour un système fermé au repos évoluant d’un état initial à un état final :

$W$ (travail) et $Q$ (transfert thermique, ou chaleur) sont exprimés en ${\mathrm{J}}$ et comptés positivement lorsqu’ils sont reçus par le système, négativement lorsqu’ils sont cédés.

Remarque. $U$ est une propriété du système, qui ne dépend que de son état ; $W$ et $Q$ décrivent des transferts entre le système et l’extérieur au cours de la transformation. Pour un système incompressible, $W$ est négligeable et $\Delta U=Q$.

Propriété — sens du transfert thermique. Le transfert thermique se fait spontanément du corps le plus chaud vers le corps le plus froid, jusqu’à l’équilibre thermique (températures égales). Dans un ensemble thermiquement isolé (calorimètre), l’énergie interne totale se conserve : $\sum Q_i=0$.

Propriété — puissance et rendement. $E=\mathcal{P}\,\Delta t$ ($\mathcal{P}$ en ${\mathrm{W}}$, $\Delta t$ en ${\mathrm{s}}$) ; $\eta=\dfrac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{consommée}}}\leq 1$ ; ${1\,\mathrm{kW}{\cdot}\mathrm{h}}={3{,}6\times10^{6}\,\mathrm{J}}$.

Méthode — mener un bilan d’énergie. définir le système et son état initial ; écrire $\Delta U=W+Q$ ; exprimer chaque terme ($m\,c\,\Delta T$, $m\,L$, $\mathcal{P}\,\Delta t$) ; résoudre en littéral, puis faire l’application numérique avec des unités SI.

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types