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Terminale spécialité · Physique-chimie · Ondes et signaux · Chapitre 22

Dynamique du circuit RC

Fiche de cours4 min de lecturePar Robin RinguetMise à jour : octobre 2026
Télécharger la fiche (PDF)Exercices et contrôles

1Intensité et charge en régime variable

Définition. L’intensité du courant est le débit de charge électrique à travers une section du conducteur :

i= ⁣dq ⁣dt(i en A, q en C, t en s).i=\frac{\dd q}{\dd t}\qquad(i\ \text{en ${\mathrm{A}}$},\ q\ \text{en ${\mathrm{C}}$},\ t\ \text{en ${\mathrm{s}}$}).

Si i=Ii=I est constante, la charge transférée pendant Δt\Delta t vaut q=I Δtq=I\,\Delta t. Sur une courbe q(t)q(t), ii est le coefficient directeur de la tangente ; i<0i<0 signifie que le courant circule en sens inverse du sens choisi.

2Le condensateur

Définition. Un condensateur est formé de deux armatures conductrices séparées par un isolant. Il porte les charges +q+q et −q-q, et

q=C uCq=C\,u_C

où CC est sa capacité, en farads (F{\mathrm{F}}). En convention récepteur (flèche de uCu_C opposée au sens de ii dans le dipôle) :

i= ⁣dq ⁣dt=C  ⁣duC ⁣dt.i=\frac{\dd q}{\dd t}=C\,\frac{\dd u_C}{\dd t}.

Propriété — comportement capacitif. La tension uCu_C ne peut pas subir de discontinuité : elle varie continûment. En régime permanent, uCu_C est constante donc i=0i=0 : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

Propriété — condensateur plan. C=ε SeC=\dfrac{\varepsilon\,S}{e}, avec SS l’aire commune des armatures, ee leur écartement et ε=εr ε0\varepsilon=\varepsilon_r\,\varepsilon_0 la permittivité de l’isolant (ε0=8,85×10−12 F⋅m−1\varepsilon_0={8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F}{\cdot}\mathrm{m}^{-1}}) ; ordres de grandeur : quelques pF{\mathrm{pF}} (capteurs), du nF{\mathrm{nF}} au mF{\mathrm{mF}} (condensateurs usuels), jusqu’à plusieurs milliers de farads (supercondensateurs). Un capteur capacitif exploite la variation de CC avec SS, ee ou εr\varepsilon_r (détection de présence, jauge de niveau, écran tactile).

3Charge et décharge d’un circuit RC série

Méthode — établir l’équation différentielle. appliquer la loi des mailles au circuit (source EE, résistance RR, condensateur CC en série), remplacer uRu_R par R iR\,i puis ii par C  ⁣duC ⁣dtC\,\dfrac{\dd u_C}{\dd t}, et ordonner.

Théorème — charge. Un condensateur initialement déchargé, relié à t=0t=0 à une source idéale de tension EE par une résistance RR :

R C  ⁣duC ⁣dt+uC=E,uC(t)=E(1−e−t/τ),i(t)=ER e−t/τ.R\,C\,\frac{\dd u_C}{\dd t}+u_C=E,\qquad u_C(t)=E\left(1-\e^{-t/\tau}\right),\qquad i(t)=\frac{E}{R}\,\e^{-t/\tau}.

Théorème — décharge. Le condensateur, chargé sous EE, est à t=0t=0 relié à la seule résistance RR :

R C  ⁣duC ⁣dt+uC=0,uC(t)=E e−t/τ,i(t)=−ER e−t/τ.R\,C\,\frac{\dd u_C}{\dd t}+u_C=0,\qquad u_C(t)=E\,\e^{-t/\tau},\qquad i(t)=-\frac{E}{R}\,\e^{-t/\tau}.

Méthode — vérifier une solution. dériver l’expression proposée de uC(t)u_C(t), la reporter dans l’équation différentielle et vérifier l’égalité, puis vérifier la condition initiale uC(0)u_C(0).

4Le temps caractéristique τ=RC\tau=RC

Définition. τ=R C\tau=R\,C est le temps caractéristique du circuit. Analyse dimensionnelle : R=uiR=\dfrac{u}{i} et C=quC=\dfrac{q}{u}, donc RC=qiRC=\dfrac{q}{i}, qui est bien une durée (des C{\mathrm{C}} divisés par des A{\mathrm{A}}).

Propriété — lectures graphiques. À t=τt=\tau, uCu_C atteint 63%{63\%} de sa valeur finale lors de la charge et il ne reste que 37%{37\%} de EE lors de la décharge. La tangente à l’origine coupe l’asymptote à la date t=τt=\tau. Le régime permanent est pratiquement atteint au bout de 5τ5\tau.

Figure 1 — Charge et décharge en fonction de t/τt/\tau : la tangente à l’origine coupe l’asymptote à la date τ\tau.

Remarque. Plus RR ou CC sont grandes, plus la charge est lente ; la charge finale q=C Eq=C\,E, elle, ne dépend pas de RR.

DonnéesValeurs de référence

ε0=8,85×10−12 F⋅m−1\varepsilon_0={8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F}{\cdot}\mathrm{m}^{-1}} • 1 µF=1×10−6 F{1\,\mathrm{\text{µ}F}}={1\times10^{-6}\,\mathrm{F}}, 1 nF=1×10−9 F{1\,\mathrm{nF}}={1\times10^{-9}\,\mathrm{F}}, 1 pF=1×10−12 F{1\,\mathrm{pF}}={1\times10^{-12}\,\mathrm{F}} • e−1≈0,37\e^{-1}\approx 0{,}37, 1−e−1≈0,631-\e^{-1}\approx 0{,}63, e−5≈0,007\e^{-5}\approx 0{,}007 • ln⁡2≈0,69\ln 2\approx 0{,}69.

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire
  • Relier ii et qq, qq et uCu_C ; exploiter i=C  ⁣duC/ ⁣dti=C\,\dd u_C/\dd t en convention récepteur.
  • Établir l’équation différentielle de la charge ou de la décharge et vérifier que la solution proposée convient.
  • Tracer ou interpréter uC(t)u_C(t) et i(t)i(t) ; justifier la continuité de uCu_C et la valeur de ii en régime permanent.
  • Déterminer τ\tau graphiquement (tangente à l’origine, 63%{63\%}, 37%{37\%}) ou par le calcul, et vérifier par analyse dimensionnelle.
  • Exploiter C=εS/eC=\varepsilon S/e pour comprendre un capteur capacitif.

6Exemples types

Exemplecharge d’un condensateur

E=6,0 VE={6{,}0\,\mathrm{V}}, R=10 kΩR={10\,\mathrm{k\Omega}}, C=10 µFC={10\,\mathrm{\text{µ}F}} : τ=RC=10×103×10×10−6=0,10 s\tau=RC=10\times 10^{3}\times 10\times 10^{-6}={0{,}10\,\mathrm{s}}. À la fermeture, uC(0)=0u_C(0)=0 donc i(0)=E/R=0,60 mAi(0)=E/R={0{,}60\,\mathrm{mA}} ; à t=τt=\tau, uC=0,63×6,0=3,8 Vu_C=0{,}63\times 6{,}0={3{,}8\,\mathrm{V}} ; le régime permanent (uC=Eu_C=E, i=0i=0) est atteint vers 5τ=0,50 s5\tau={0{,}50\,\mathrm{s}}, avec q=C E=60 µCq=C\,E={60\,\mathrm{\text{µ}C}}.

Exempledécharge et demi-temps

Le même condensateur se décharge dans RR : uC(t)=6,0 e−t/0,10u_C(t)=6{,}0\,\e^{-t/0{,}10}. La tension est divisée par deux lorsque e−t/τ=0,5\e^{-t/\tau}=0{,}5, soit t=τln⁡2=0,10×0,69=69 mst=\tau\ln 2=0{,}10\times 0{,}69={69\,\mathrm{ms}}, indépendamment de EE.

Exempledétermination graphique de τ\tau

Sur un enregistrement de décharge, on relève la date à laquelle uCu_C vaut 37%{37\%} de sa valeur initiale : cette date est τ\tau. Avec τ=0,22 s\tau={0{,}22\,\mathrm{s}} et R=4,7 kΩR={4{,}7\,\mathrm{k\Omega}}, on en déduit C=τ/R=4,7×10−5 F=47 µFC=\tau/R={4{,}7\times10^{-5}\,\mathrm{F}}={47\,\mathrm{\text{µ}F}}.

Exemplecapteur capacitif

Un condensateur plan à air a pour armatures S=50 cm2S={50\,\mathrm{cm}^{2}} distantes de e=0,20 mme={0{,}20\,\mathrm{mm}} :

C=ε0Se=8,85×10−12×5,0×10−32,0×10−4=2,2×10−10 F=0,22 nF.C=\frac{\varepsilon_0 S}{e}=\frac{8{,}85\times 10^{-12}\times 5{,}0\times 10^{-3}}{2{,}0\times 10^{-4}}={2{,}2\times10^{-10}\,\mathrm{F}}={0{,}22\,\mathrm{nF}}.

Doubler l’écartement divise CC par deux : la mesure de CC renseigne sur ee.

Pièges
  • Écrire i=C uCi=C\,u_C ou q=C/uCq=C/u_C : la relation est q=C uCq=C\,u_C, et i=C  ⁣duC/ ⁣dti=C\,\dd u_C/\dd t.
  • Croire que ii est continue : c’est uCu_C qui l’est ; ii saute de 00 à E/RE/R à la fermeture de l’interrupteur.
  • Oublier de convertir : RR en Ω{\mathrm{\Omega}} et CC en F{\mathrm{F}} donnent τ\tau en secondes.
  • Confondre τ\tau et la durée de la charge complète : celle-ci vaut environ 5τ5\tau.
  • Croire que RR modifie la charge finale : q=C Eq=C\,E n’en dépend pas, RR ne fixe que la durée.
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Exercices, contrôles et sujets

Les énoncés sont en accès libre, à télécharger en PDF.

1

Exercices de base

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Les bases : intensité et charge, capacité, équations de charge et de décharge, temps caractéristique, capteur capacitif

9 exercicesniveau Difficulté 1 sur 3durée conseillée : 1 h 30calculatrice autorisée

  1. Intensité et chargeDifficulté 1 sur 3
  2. Le produit RCRC est une duréeDifficulté 1 sur 3
  3. Des capacités de toutes taillesDifficulté 1 sur 3
  4. Établir l’équation de la chargeDifficulté 1 sur 3
  5. Vérifier la solution de la déchargeDifficulté 1 sur 3
  6. L’intensité pendant la chargeDifficulté 2 sur 3
  7. Déterminer τ\tau sur une courbe de déchargeDifficulté 2 sur 3
  8. La touche d’un clavier capacitifDifficulté 1 sur 3
  9. La minuterie de cuisineDifficulté 2 sur 3
2

Exercices d'application

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Applications : temporisation, anti-rebond, acquisition ExAO, méthode d’Euler, capteur d’humidité, supercondensateur

6 exercicesniveau Difficulté 2 sur 3durée conseillée : 2 hcalculatrice autorisée

  1. La temporisation d’une cage d’escalierDifficulté 2 sur 3
  2. Le filtre anti-rebond d’un bouton d’ArduinoDifficulté 2 sur 3
  3. Acquisition ExAO d’une déchargeDifficulté 2 sur 3
  4. Simuler une charge par la méthode d’EulerDifficulté 2 sur 3
  5. Un capteur d’humidité capacitifDifficulté 2 sur 3
  6. Le bus à supercondensateursDifficulté 2 sur 3
3

Contrôle A

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Charge et décharge d’un condensateur

Durée : 1 hcalculatrice autorisée3 exercices indépendantsbarème sur 20

  1. Questions de cours4 ptsDifficulté 1 sur 3
  2. Charge d’un condensateur10 ptsDifficulté 2 sur 3
  3. Le flash d’un appareil photo6 ptsDifficulté 2 sur 3
4

Contrôle B

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Stimulateur cardiaque et accéléromètre capacitif

Durée : 1 hcalculatrice autorisée3 exercices indépendantsbarème sur 20

  1. QCM5 ptsDifficulté 1 sur 3
  2. Le stimulateur cardiaque8 ptsDifficulté 2 sur 3
  3. L’accéléromètre d’un smartphone7 ptsDifficulté 3 sur 3
5

Approfondissement

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Résolution générale, temps de montée, bilan énergétique, stabilité de la méthode d’Euler, signal créneau, jauge capacitive, fuite d’un condensateur, problème ouvert

7 exercicesniveau Difficulté 3 sur 3durée conseillée : 2 hcalculatrice autorisée

  1. Résolution générale et temps de montéeDifficulté 3 sur 3
  2. Bilan énergétique de la charge (hors programme — pour aller plus loin)Difficulté 3 sur 3
  3. Précision et stabilité de la méthode d’EulerDifficulté 3 sur 3
  4. Réponse d’un circuit RC à un signal créneauDifficulté 3 sur 3
  5. La jauge capacitive d’un réservoirDifficulté 3 sur 3
  6. La fuite d’un condensateurDifficulté 3 sur 3
  7. Problème ouvert : l’horloge sauvegardéeDifficulté 3 sur 3
6

Sujet type bac

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Deux exercices indépendants : le défibrillateur automatisé externe, l’écran tactile capacitif

Durée : 1 h 30calculatrice autorisée2 exercices indépendantsbarème sur 20

  1. Le défibrillateur automatisé externe13 ptsDifficulté 3 sur 3
  2. L’écran tactile capacitif7 ptsDifficulté 2 sur 3

Terminale · Physique-chimie : les 22 chapitres

  1. Transformations acide-base
  2. Analyse par des méthodes physiques
  3. Titrages
  4. Cinétique chimique
  5. Mécanismes réactionnels
  6. Radioactivité
  7. Sens d’évolution spontanée
  8. Piles
  9. Force des acides et des bases
  10. Électrolyse
  11. Stratégies en synthèse organique
  12. Décrire un mouvement
  13. Deuxième loi de Newton
  14. Mouvement dans un champ uniforme
  15. Mouvement dans un champ de gravitation
  16. Écoulement d’un fluide
  17. Gaz parfait et premier principe
  18. Transferts thermiques
  19. Sons et effet Doppler
  20. Diffraction et interférences
  21. Lunette astronomique et photons
  22. Dynamique du circuit RC