Terminale spécialité · Physique-chimie · Mouvement et interactions · Chapitre 12

Décrire un mouvement

Fiche de cours4 min de lecturePar Robin RinguetMise à jour : octobre 2026

Télécharger la fiche (PDF)Exercices et contrôles

1Référentiel, repère, vecteur position

Définition. Décrire un mouvement suppose de choisir un référentiel (objet de référence muni d’une horloge) : la trajectoire et la vitesse en dépendent. Le système étudié est assimilé à son centre de masse $G$ .

Définition. Dans un repère $(O\,;\vv{\imath},\vv{\jmath})$ , la position du point $M$ à la date $t$ est donnée par le vecteur position $\vect{OM}(t)$ , de coordonnées $\bigl(x(t)\,;y(t)\bigr)$ ; ces relations sont les équations horaires. L’ensemble des positions occupées est la trajectoire, dont l’équation s’obtient en éliminant $t$ entre $x(t)$ et $y(t)$ .

2Vecteurs vitesse et accélération

Définition. Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, et le vecteur accélération la dérivée du vecteur vitesse :

\vv{v}=\frac{\dd\vect{OM}}{\dd t}\ \ \text{de coordonnées}\ \left(\frac{\dd x}{\dd t}\,;\frac{\dd y}{\dd t}\right),\qquad \vv{a}=\frac{\dd\vv{v}}{\dd t}\ \ \text{de coordonnées}\ \left(\frac{\dd v_x}{\dd t}\,;\frac{\dd v_y}{\dd t}\right).

$v$ s’exprime en ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ et $a$ en ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-2}}$ .

Propriété. $\vv{v}$ est toujours tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement. Le vecteur $\vv{a}$ , lui, est dirigé vers l’intérieur de la courbure ; il pointe « vers l’avant » quand le mouvement accélère, « vers l’arrière » quand il ralentit.

Remarque. La norme du vecteur vitesse est $v=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}$ ; à trois dimensions, on ajoute simplement la coordonnée $z$ .

3Exploiter un enregistrement

Méthode — chronophotographie ou tableau de mesures, de pas de temps $\tau$ . on approche les dérivées par des taux de variation centrés sur le point considéré :

\vv{v}_n\approx\frac{\vect{M_{n-1}M_{n+1}}}{2\,\tau},\qquad \vv{a}_n\approx\frac{\vv{v}_{n+1}-\vv{v}_{n-1}}{2\,\tau}.

$\vv{v}_n$ se construit donc parallèlement à $\vect{M_{n-1}M_{n+1}}$ , et $\vv{a}_n$ à partir de la différence $\vv{v}_{n+1}-\vv{v}_{n-1}$ (on trace $\vv{v}_{n+1}$ et $-\vv{v}_{n-1}$ bout à bout). Ces valeurs sont approchées : la formule centrée est d’autant plus précise que $\tau$ est petit ; elle ne donne pas la vitesse au premier ni au dernier point, ni l’accélération aux deux premiers et aux deux derniers points.

4Repère de Frenet et mouvement circulaire

Définition. Pour un mouvement circulaire de rayon $R$ , on utilise le repère de Frenet lié au mobile : $\vv{u}_t$ tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement, et $\vv{u}_n$ normal, dirigé vers le centre.

Propriété. Dans ce repère, le vecteur accélération se décompose en

\vv{a}=\frac{\dd v}{\dd t}\,\vv{u}_t+\frac{v^{2}}{R}\,\vv{u}_n .

La composante tangentielle traduit la variation de la valeur de la vitesse ; la composante normale, toujours positive, traduit la variation de sa direction.

Propriété — mouvement circulaire uniforme. $v$ est constante, donc $\dfrac{\dd v}{\dd t}=0$ : l’accélération est centripète, de valeur $a=\dfrac{v^{2}}{R}$ . Elle n’est pas nulle bien que la vitesse garde la même valeur.

Figure 1 — Mouvement circulaire uniforme (sens trigonométrique) : repère de Frenet en $M$ ; en $P$ , $\vv{v}$ est tangent et $\vv{a}$ centripète.

5Natures de mouvement

FormulaireReconnaître un mouvement

Rectiligne uniforme : $\vv{v}$ constant (direction et valeur), donc $\vv{a}=\vv{0}$ .
Rectiligne uniformément varié : $\vv{a}$ constant et colinéaire à $\vv{v}$ ; accéléré si $\vv{a}$ et $\vv{v}$ ont le même sens, ralenti sinon.
Circulaire uniforme : $v$ constante, $\vv{a}$ centripète de valeur $v^{2}/R$ ; la période vaut $T=\dfrac{2\pi R}{v}$ .
Circulaire non uniforme : les deux composantes de $\vv{a}$ sont non nulles.

6Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Établir les coordonnées de $\vv{v}$ et de $\vv{a}$ en dérivant des équations horaires ; obtenir l’équation de la trajectoire.
Déduire la nature d’un mouvement des expressions de $\vv{v}$ et de $\vv{a}$ .
Exploiter une chronophotographie : calculer une vitesse et une accélération approchées, construire les vecteurs.
Caractériser $\vv{a}$ dans le repère de Frenet pour un mouvement circulaire, uniforme ou non.
Interpréter ou compléter un programme Python traçant les vecteurs vitesse et accélération.

7Exemples types

Exempledérivation d’équations horaires

Axe $(Oz)$ vertical ascendant : $x(t)=3{,}0\,t$ et $z(t)=-4{,}9\,t^{2}+2{,}0\,t$ (unités SI). Alors $v_x=3{,}0$ et $v_z=-9{,}8\,t+2{,}0$ , puis $a_x=0$ et $a_z=-9{,}8$ : $\vv{a}$ est constant, vertical et dirigé vers le bas. La trajectoire s’obtient avec $t=x/3{,}0$ : $z=-0{,}54\,x^{2}+0{,}67\,x$ , une parabole.

Exemplevitesse et accélération sur un enregistrement

Pas de temps $\tau={40{,}0\,\mathrm{ms}}$ , mouvement rectiligne le long de $(Ox)$ : $x_2={0{,}120\,\mathrm{m}}$ et $x_4={0{,}200\,\mathrm{m}}$ , d’où $v_3\approx\dfrac{0{,}200-0{,}120}{2\times0{,}0400}={1{,}00\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ . Avec $v_2={0{,}80\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ et $v_4={1{,}20\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ : $a_3\approx\dfrac{1{,}20-0{,}80}{2\times0{,}0400}={5{,}0\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-2}}$ .

Exemplemouvement circulaire uniforme

Une nacelle de manège décrit un cercle de rayon $R={4{,}0\,\mathrm{m}}$ à la vitesse constante $v={3{,}0\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ . Alors $\dfrac{\dd v}{\dd t}=0$ et $a=\dfrac{v^{2}}{R}=\dfrac{3{,}0^{2}}{4{,}0}={2{,}3\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-2}}$ , dirigée vers le centre ; la période vaut $T=\dfrac{2\pi R}{v}={8{,}4\,\mathrm{s}}$ .

Exemplemouvement circulaire non uniforme

Le même manège freine régulièrement de ${3{,}0\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ à ${1{,}0\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ en ${4{,}0\,\mathrm{s}}$ : $\dfrac{\dd v}{\dd t}=\dfrac{1{,}0-3{,}0}{4{,}0}={-0{,}50\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-2}}$ . À l’instant où $v={2{,}0\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ , $a_n=\dfrac{v^{2}}{R}={1{,}0\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-2}}$ , d’où $a=\sqrt{0{,}50^{2}+1{,}0^{2}}={1{,}1\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-2}}$ : $\vv{a}$ est dirigé vers l’intérieur et vers l’arrière.

Pièges

Croire qu’un mouvement uniforme a une accélération nulle : c’est faux dès que la trajectoire est courbe.
Confondre $\vv{v}$ et $\vv{a}$ : $\vv{v}$ est tangent à la trajectoire, $\vv{a}$ pointe vers l’intérieur de la courbure.
Utiliser $\vect{M_{n}M_{n+1}}/\tau$ au lieu de la formule centrée $\vect{M_{n-1}M_{n+1}}/(2\tau)$ , bien plus précise.
Oublier de préciser le référentiel : « être immobile » n’a de sens que par rapport à un référentiel donné.
Écrire $a=v^{2}/R$ pour un mouvement circulaire non uniforme : ce n’est alors qu’une des deux composantes de $\vv{a}$ .

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Exercices, contrôles et sujets

Les énoncés sont en accès libre, à télécharger en PDF.

Exercices de base

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Les bases : vecteurs position, vitesse et accélération, natures de mouvement

9 exercicesniveau Difficulté 1 sur 3durée conseillée : 1 h 30calculatrice autorisée

Vecteur position et vecteur déplacementDifficulté 1 sur 3
Dériver les équations horairesDifficulté 1 sur 3
Un mouvement planDifficulté 1 sur 3
Lire un enregistrement de positionDifficulté 1 sur 3
Chronophotographie d’un paletDifficulté 1 sur 3
La chute d’une billeDifficulté 1 sur 3
Reconnaître le mouvementDifficulté 2 sur 3
Le manègeDifficulté 2 sur 3
Dans le rond-pointDifficulté 2 sur 3

Exercices d'application

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Application : chronophotographies, équations horaires, mouvements circulaires, Python

7 exercicesniveau Difficulté 2 sur 3durée conseillée : 1 h 30calculatrice autorisée

Chronophotographie sur une table inclinéeDifficulté 2 sur 3
Un mouvement circulaire en coordonnées cartésiennesDifficulté 2 sur 3
La centrifugeuse des pilotesDifficulté 2 sur 3
Trois enregistrementsDifficulté 2 sur 3
Python : des positions aux vecteurs vitesseDifficulté 2 sur 3
La grande roueDifficulté 2 sur 3
Un mobile sur un rail inclinéDifficulté 2 sur 3

Contrôle A

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Vecteurs vitesse et accélération, équations horaires, chronophotographie

Durée : 1 hcalculatrice autorisée4 exercices indépendantsbarème sur 20

Questions de cours4 ptsDifficulté 1 sur 3
Étude d’un mouvement plan6 ptsDifficulté 2 sur 3
Le chariot sur son rail7 ptsDifficulté 2 sur 3
L’éolienne3 ptsDifficulté 2 sur 3

Contrôle B

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Construction de vecteurs, repère de Frenet, exploitation d’un programme

Durée : 1 hcalculatrice autorisée4 exercices indépendantsbarème sur 20

Vrai ou faux, et pourquoi4 ptsDifficulté 2 sur 3
Le kart sur la piste circulaire6 ptsDifficulté 2 sur 3
Le manège qui démarre7 ptsDifficulté 3 sur 3
Un programme à compléter3 ptsDifficulté 2 sur 3

Approfondissement

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Démonstrations, estimation des dérivées, trajectoires inhabituelles : pour aller plus loin

7 exercicesniveau Difficulté 3 sur 3durée conseillée : 2 hcalculatrice autorisée

Établir l’expression de l’accélération dans le repère de FrenetDifficulté 3 sur 3
Pourquoi la formule centrée ?Difficulté 3 sur 3
Quelle confiance accorder à la vitesse calculée ?Difficulté 3 sur 3
Le freinage d’un manègeDifficulté 3 sur 3
La cycloïde : le mouvement d’un point de pneuDifficulté 3 sur 3
Résolution de problème : jusqu’où peut-on centrifuger ?Difficulté 3 sur 3
Un mouvement hélicoïdalDifficulté 3 sur 3

Sujet type bac

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Deux exercices indépendants : un satellite d’observation, le 100 mètres

Durée : 1 h 30calculatrice autorisée2 exercices indépendantsbarème sur 20

Le satellite d’observation Aurore-112 ptsDifficulté 3 sur 3
Le 100 mètres8 ptsDifficulté 2 sur 3