Deuxième loi de Newton : cours de Terminale et exercices

1Système, centre de masse, référentiel

Définition. Le système est le corps dont on étudie le mouvement ; il est repéré par son centre de masse $G$ , point où l’on peut considérer que toute sa masse est concentrée. Pour un corps homogène de forme simple, $G$ est son centre géométrique.

Définition. Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel les lois de Newton s’appliquent. En pratique, on les suppose galiléens pour la durée de l’étude :

référentiel terrestre (lié au sol) : mouvements courts devant une journée ;
référentiel géocentrique (centre de la Terre, axes vers des étoiles lointaines) : satellites, Lune ;
référentiel héliocentrique (centre du Soleil) : planètes, sondes interplanétaires.

2Forces extérieures usuelles

FormulaireLes forces à connaître

Poids : $\vv{P}=m\,\vv{g}$ , vertical vers le bas, appliqué en $G$ , $P=mg$ en ${\mathrm{N}}$ avec $g={9{,}81\,\mathrm{N}{\cdot}\mathrm{kg}^{-1}}$ .
Réaction du support : $\vv{R}=\vv{R}_N+\vv{f}$ , où $\vv{R}_N$ est perpendiculaire au support et $\vv{f}$ la force de frottement, parallèle au support et opposée au mouvement (nulle si le contact est parfait).
Tension d’un fil $\vv{T}$ : dirigée selon le fil, du système vers le point d’attache. Tension d’un ressort (hors programme) : $T=k\,\abs{\Delta\ell}$ .
Poussée d’Archimède : $\Pi=\rho_{\text{fluide}}\,V\,g$ , verticale vers le haut ( $V$ : volume immergé).
Force électrique : $\vv{F}=q\,\vv{E}$ . Force d’interaction gravitationnelle : $F=G\,\dfrac{m_A\,m_B}{d^{\,2}}$ ( $G$ : constante de gravitation universelle).

3La deuxième loi de Newton

Théorème — deuxième loi de Newton. Dans un référentiel galiléen, pour un système de masse $m$ constante et de centre de masse $G$ :

\sum\vv{F}_{\text{ext}}=m\,\vv{a}_G .

La somme des forces extérieures et le vecteur accélération sont donc toujours colinéaires et de même sens ; pour une même somme des forces, $\vv{a}_G$ est d’autant plus petit que la masse est grande (inertie).

Théorème — principe d’inertie, première loi. Dans un référentiel galiléen, $\sum\vv{F}_{\text{ext}}=\vv{0}$ si et seulement si $G$ est immobile ou animé d’un mouvement rectiligne uniforme. Un système soumis à des forces qui se compensent est dit à l’équilibre (au sens de la translation).

Remarque. Une force ne « produit » pas une vitesse mais une variation de vitesse : un mobile peut avancer sans aucune force (mouvement rectiligne uniforme) et une force peut le freiner.

4Méthode de résolution

Méthode — appliquer la deuxième loi. toujours dans cet ordre :

définir le système et le référentiel (supposé galiléen) ;
faire le bilan des forces extérieures et les représenter sur un schéma, appliquées en $G$ ;
écrire $\sum\vv{F}_{\text{ext}}=m\,\vv{a}_G$ (relation vectorielle) ;
choisir un repère adapté (un axe selon le mouvement) et projeter sur chaque axe ;
résoudre littéralement, puis faire l’application numérique et vérifier l’unité et l’ordre de grandeur.

Propriété — cas classiques. Sur un plan incliné d’angle $\alpha$ sans frottement, l’axe pris selon la ligne de plus grande pente donne $a_G=g\sin\alpha$ et $R_N=mg\cos\alpha$ : l’accélération ne dépend pas de la masse. Dans un ascenseur d’accélération $a$ vers le haut, le support exerce $R_N=m(g+a)$ . Pour une chute avec frottement fluide $f=k\,v$ (poussée d’Archimède négligée), l’accélération diminue et la vitesse tend vers une vitesse limite telle que $mg=k\,v_{\lim}$ .

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Choisir un système et un référentiel galiléen adapté à la durée de l’étude ; situer le centre de masse.
Établir le bilan des forces extérieures et le représenter par un schéma à l’échelle.
Appliquer $\sum\vv{F}_{\text{ext}}=m\,\vv{a}_G$ et projeter sur des axes bien choisis pour obtenir une accélération ou une force.
Traiter les situations types : plan incliné, ascenseur, véhicule qui freine, objet suspendu, chute avec frottements.
Exploiter la condition d’équilibre $\sum\vv{F}_{\text{ext}}=\vv{0}$ et reconnaître un mouvement rectiligne uniforme.

6Exemples types

Exempleglissade sur un plan incliné

Une luge glisse sans frottement sur une pente d’angle $\alpha={15^{\circ}}$ . Système : la luge ; forces : $\vv{P}$ et $\vv{R}_N$ . La deuxième loi projetée sur l’axe de plus grande pente, orienté vers le bas, donne $mg\sin\alpha=m\,a_G$ , soit $a_G=g\sin\alpha=9{,}81\times\sin{15^{\circ}}={2{,}5\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-2}}$ , indépendante de la masse.

Exempledans l’ascenseur

Une personne de masse $m={60\,\mathrm{kg}}$ est dans un ascenseur qui démarre vers le haut avec $a={1{,}2\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-2}}$ . Sur l’axe vertical ascendant : $R_N-mg=m\,a$ , d’où $R_N=m(g+a)=60\times(9{,}81+1{,}2)={6{,}6\times10^{2}\,\mathrm{N}}$ : elle se sent plus lourde. À vitesse constante, $R_N=mg={5{,}9\times10^{2}\,\mathrm{N}}$ .

Exempleéquilibre d’un objet suspendu

Une lanterne de masse $m={2{,}0\,\mathrm{kg}}$ pend au bout d’un fil vertical, immobile. Comme $\vv{a}_G=\vv{0}$ , $\vv{P}+\vv{T}=\vv{0}$ : le fil exerce une tension verticale vers le haut de valeur $T=mg=2{,}0\times9{,}81={20\,\mathrm{N}}$ .

Exemplevitesse limite d’une bille dans un fluide

Une bille de masse $m={5{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{kg}}$ tombe dans un liquide qui exerce $f=k\,v$ avec $k={0{,}25\,\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ (poussée d’Archimède négligée). Tant que $v$ croît, $a$ diminue ; lorsque $a=0$ , $mg=k\,v_{\lim}$ , d’où $v_{\lim}=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{5{,}0\times10^{-3}\times9{,}81}{0{,}25}={0{,}20\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ .

Exemplefreinage d’un véhicule

Une voiture de masse $m={1{,}2\times10^{3}\,\mathrm{kg}}$ roulant à $v_0={20\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ s’arrête en $d={40\,\mathrm{m}}$ avec une décélération constante. La relation $v_0^{2}=2\,a\,d$ donne $a=\dfrac{20^{2}}{2\times40}={5{,}0\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-2}}$ , donc la force de freinage vaut $F=m\,a={6{,}0\times10^{3}\,\mathrm{N}}$ , dirigée en sens inverse du mouvement.

Pièges

Faire figurer dans le bilan une force exercée par le système, ou une « force du mouvement » : seules comptent les forces extérieures appliquées au système.
Confondre masse (en ${\mathrm{kg}}$ , invariable) et poids (en ${\mathrm{N}}$ , dépendant de l’astre).
Croire qu’un mouvement rectiligne uniforme exige une force motrice : dans ce cas les forces se compensent.
Projeter en oubliant les signes ou en confondant sinus et cosinus : sur un plan incliné d’angle $\alpha$ , le poids a une composante $mg\sin\alpha$ selon la pente et $mg\cos\alpha$ perpendiculairement.

← Décrire un mouvement Mouvement dans un champ uniforme →

Deuxième loi de Newton

1Système, centre de masse, référentiel

2Forces extérieures usuelles

3La deuxième loi de Newton

4Méthode de résolution

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Sujet type bac

Terminale · Physique-chimie : les 22 chapitres