Primitives et équations différentielles

1Primitives : définition et description

Notation. Dans toute la fiche, $I$ désigne un intervalle de $\R$ non réduit à un point, et $\mathbb{K}$ désigne $\R$ ou $\C$. Les fonctions considérées sont définies sur $I$ et à valeurs dans $\mathbb{K}$.

Définition. Soit $f:I\to\mathbb{K}$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F:I\to\mathbb{K}$ dérivable sur $I$ telle que $F'=f$ sur $I$.

Théorème — description de l’ensemble des primitives. Soit $f:I\to\mathbb{K}$ admettant une primitive $F_{0}$ sur $I$. Alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $F_{0}+C$, $C\in\mathbb{K}$ constante. En particulier, deux primitives de $f$ sur $I$ diffèrent d’une constante, et pour tout $(x_{0},y_{0})\in I\times\mathbb{K}$ il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_{0})=y_{0}$.

Idée de preuve (exigible). Si $F'=F_{0}'=f$, alors $(F-F_{0})'=0$ sur $I$ ; or une fonction dérivable de dérivée nulle sur un intervalle est constante. Réciproquement $(F_{0}+C)'=f$. Pour l’unicité : $F=F_{0}+\bigl(y_{0}-F_{0}(x_{0})\bigr)$ est la seule possible.

Propriété — lien avec l’intégrale, admis à ce stade. Si $f$ est continue sur $I$ et $x_{0}\in I$, alors $x\mapsto\int_{x_{0}}^{x}f(t)\dd t$ est une primitive de $f$ sur $I$ : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives. Rappelé sans démonstration ; la théorie de l’intégration viendra plus tard dans l’année.

Notation. On note $\displaystyle\int f(t)\dd t$ une primitive générique de $f$ : une égalité entre telles écritures s’entend à une constante près, sur un intervalle qu’il faut préciser. Enfin $F$ primitive $f:I\to\C$ si et seulement si $\Ree(F)$ primitive $\Ree(f)$ et $\Imm(F)$ primitive $\Imm(f)$ ; et si $F$ primitive $f$, $G$ primitive $g$, alors $\lambda F+\mu G$ primitive $\lambda f+\mu g$.

2Primitives usuelles

3Reconnaître une dérivée de composée

Méthode — la forme $u'\times(g\circ u)$. si $G$ primitive $g$ et si $u$ est dérivable à valeurs dans le domaine de $G$, alors $(G\circ u)'=u'\times(g\circ u)$ : $G\circ u$ est une primitive de $u'\,(g\circ u)$. Tout consiste à repérer le facteur $u'$.

4Primitives de $\e^{\lambda x}$ avec $\lambda\in\C$, et de $\e^{ax}\cos(bx)$

Théorème. Pour $\lambda\in\C^{*}$, la fonction $x\mapsto\dfrac{\e^{\lambda x}}{\lambda}$ est une primitive sur $\R$ de $x\mapsto\e^{\lambda x}$.

Idée de preuve. La dérivée de $x\mapsto\e^{\varphi(x)}$ est $\varphi'\e^{\varphi}$ pour $\varphi$ dérivable à valeurs complexes (chapitre 6) ; avec $\varphi(x)=\lambda x$ on obtient $\left(\frac{\e^{\lambda x}}{\lambda}\right)'=\e^{\lambda x}$.

Méthode — primitives de $\e^{ax}\cos(bx)$ et $\e^{ax}\sin(bx)$. soient $(a,b)\in\R^{2}$ avec $(a,b)\neq(0,0)$, et $\lambda=a+ib\neq0$. Comme $\e^{ax}\cos(bx)=\Ree\left(\e^{\lambda x}\right)$ et $\e^{ax}\sin(bx)=\Imm\left(\e^{\lambda x}\right)$, on primitive $\e^{\lambda x}$ puis on prend la partie réelle ou imaginaire :

On n’apprend pas ces deux formules : on refait le calcul, en multipliant $\frac{1}{a+ib}$ par $\frac{a-ib}{a^{2}+b^{2}}$. Deux intégrations par parties successives donnent le même résultat, plus lentement.

5Primitives de $\dfrac{1}{ax^{2}+bx+c}$

Méthode. Soient $a\neq0$ et $\Delta=b^{2}-4ac$. On travaille sur un intervalle où le dénominateur ne s’annule pas.

• Si $\Delta>0$, le trinôme a deux racines réelles $r_{1}\neq r_{2}$ et $\dfrac{1}{a(x-r_{1})(x-r_{2})}=\dfrac{1}{a(r_{1}-r_{2})}\left(\dfrac{1}{x-r_{1}}-\dfrac{1}{x-r_{2}}\right)$ : on obtient des logarithmes.
• Si $\Delta=0$, avec $r=-\frac{b}{2a}$ : $\dfrac{1}{a(x-r)^{2}}$, de primitive $-\dfrac{1}{a(x-r)}$.
• Si $\Delta<0$, on écrit la forme canonique $ax^{2}+bx+c=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+\omega^{2}\right]$ avec $\omega=\frac{\sqrt{-\Delta}}{2\abs{a}}>0$, puis on reconnaît $\frac{u'}{1+u^{2}}$ avec $u(x)=\frac{1}{\omega}\left(x+\frac{b}{2a}\right)$ : une primitive est $\frac{1}{a\omega}\operatorname{Arctan}\bigl(u(x)\bigr)$.

Pour $\dfrac{\alpha x+\beta}{ax^{2}+bx+c}$, on fait apparaître au numérateur la dérivée $2ax+b$ du dénominateur (ce qui donne un $\ln\abs{\cdot}$) ; il reste un terme en $\dfrac{1}{ax^{2}+bx+c}$.

6Intégration par parties

Théorème — IPP pour les primitives. Soient $u,v:I\to\mathbb{K}$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $I$. Si $H$ est une primitive de $uv'$ sur $I$, alors $uv-H$ est une primitive de $u'v$ sur $I$ ; on écrit $\int u'(x)v(x)\dd x=u(x)v(x)-\int u(x)v'(x)\dd x$. Preuve : $(uv)'=u'v+uv'$, donc $u'v=(uv)'-uv'$ ; on primitive cette égalité.

Méthode — choix de $u'$ et de $v$. on prend pour $v$ le facteur que la dérivation simplifie ($x^{n}$, $\ln$, $\operatorname{Arctan}$, $\operatorname{Arcsin}$) et pour $u'$ celui que l’on sait primitiver sans peine ($\e^{\lambda x}$, $\cos$, $\sin$, $x^{n}$) : $\int x^{n}\e^{x}\dd x$ demande $n$ IPP avec $v=x^{n}$ ; $\int\ln x\dd x$ et $\int\operatorname{Arctan}x\dd x$ se traitent avec $u'=1$ ; $\int\e^{x}\cos x\dd x$ revient sur lui-même après deux IPP (on résout alors une équation d’inconnue « la primitive »).

7Changement de variable

Théorème. Soient $f$ continue sur $I$, $F$ une primitive de $f$ sur $I$, et $\varphi:J\to I$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un intervalle $J$. Alors $F\circ\varphi$ est une primitive sur $J$ de $t\mapsto f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)$ : $\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\dd t=F\bigl(\varphi(t)\bigr)$. Preuve : c’est la dérivation d’une composée, $(F\circ\varphi)'=\varphi'\times(f\circ\varphi)$.

Méthode — les deux sens d’usage. Sens direct (« je reconnais $\varphi'\times(f\circ\varphi)$ ») : on pose $u=\varphi(t)$ et on primitive $f$. Sens inverse (« je pose $x=\varphi(t)$ pour simplifier ») : on choisit $\varphi:J\to I$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ et bijective, on calcule une primitive $G$ de $(f\circ\varphi)\varphi'$ sur $J$, et $G\circ\varphi^{-1}$ est une primitive de $f$ sur $I$. Formellement : $x=\varphi(t)$, $\dd x=\varphi'(t)\dd t$, puis retour à $x$.

8Équations différentielles linéaires du premier ordre

Notation. Soient $a,b:I\to\mathbb{K}$ continues. On étudie

Une solution de $(E)$ sur $I$ est une fonction $y:I\to\mathbb{K}$ dérivable sur $I$ vérifiant l’égalité en tout point de $I$. On note $\mathcal{S}_{E}$ et $\mathcal{S}_{H}$ les ensembles de solutions sur $I$.

Théorème — solutions de l’équation homogène. Soit $A$ une primitive de $a$ sur $I$. Alors

En particulier, si $a$ est constante, $\mathcal{S}_{H}=\ens{x\mapsto C\e^{-ax},\ C\in\mathbb{K}}$. Une solution de $(H)$ qui s’annule en un point de $I$ est identiquement nulle.

Démonstration (exigible). Pour $y$ dérivable sur $I$, posons $z=y\e^{A}$ : alors $z'=\e^{A}\left(y'+ay\right)$, et $\e^{A}$ ne s’annule pas. Donc $y$ est solution de $(H)$ si et seulement si $z'=0$ sur l’intervalle $I$, c’est-à-dire si et seulement si $z$ est constante, soit $y=C\e^{-A}$.

Théorème — structure et superposition. Si $y_{p}$ est une solution de $(E)$ sur $I$, alors

De plus (principe de superposition) si $b=\lambda_{1}b_{1}+\lambda_{2}b_{2}$ et si $y_{1},y_{2}$ sont solutions de $y'+ay=b_{1}$ et $y'+ay=b_{2}$, alors $\lambda_{1}y_{1}+\lambda_{2}y_{2}$ est solution de $(E)$. Les deux points résultent de la linéarité de $y\mapsto y'+ay$ : $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $y-y_{p}$ est solution de $(H)$.

Méthode — variation de la constante. on cherche $y$ sous la forme $y(x)=C(x)\e^{-A(x)}$ avec $C$ dérivable. Le calcul donne $y'+ay=C'(x)\e^{-A(x)}$, donc $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $C'(x)=b(x)\e^{A(x)}$ : il suffit de prendre pour $C$ une primitive de $b\e^{A}$ sur $I$. On obtient ainsi toutes les solutions d’un coup.

Théorème — problème de Cauchy. Soient $x_{0}\in I$ et $y_{0}\in\mathbb{K}$. Le problème $\bigl(y'+a(x)y=b(x)$ et $y(x_{0})=y_{0}\bigr)$ admet une unique solution sur $I$. Preuve (exigible) : les solutions sont les $y=(C+K)\e^{-A}$, $K\in\mathbb{K}$ ; la condition $y(x_{0})=y_{0}$ s’écrit $K=y_{0}\e^{A(x_{0})}-C(x_{0})$, qui détermine $K$ de manière unique.

9Recollement : quand le coefficient de $y'$ s’annule

Méthode — équation $\alpha(x)y'+\beta(x)y=\gamma(x)$. si $\alpha$ s’annule, l’équation n’est pas sous la forme $(E)$ en ces points. On procède en trois temps : (1) résolution sur chaque intervalle où $\alpha$ ne s’annule pas, avec une constante par intervalle ; (2) recollement : on cherche à quelles conditions les morceaux se prolongent en une fonction dérivable sur l’intervalle entier (continuité, puis dérivabilité, puis vérification de l’équation au point de raccord) ; (3) conclusion : le nombre de constantes libres sur l’intervalle entier n’est en général plus le même.

10Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Notation. Soient $a,b\in\mathbb{K}$ et $f:I\to\mathbb{K}$ continue. On étudie

L’équation caractéristique est $\ r^{2}+ar+b=0$, de discriminant $\Delta=a^{2}-4b$.

Théorème — solutions de $(H_{2})$ à valeurs complexes. Si $r_{1}\neq r_{2}$ sont les deux racines de l’équation caractéristique dans $\C$, les solutions de $(H_{2})$ sur $I$ sont les $x\mapsto C_{1}\e^{r_{1}x}+C_{2}\e^{r_{2}x}$ ; si $r$ est racine double, ce sont les $x\mapsto(C_{1}x+C_{2})\e^{rx}$, avec $(C_{1},C_{2})\in\C^{2}$ dans les deux cas.

Théorème — solutions réelles quand $a,b\in\R$. Si $a$ et $b$ sont réels, les solutions à valeurs réelles de $(H_{2})$ sur $I$ sont :

• $\Delta>0$, racines réelles $r_{1}\neq r_{2}$ : $\ y(x)=C_{1}\e^{r_{1}x}+C_{2}\e^{r_{2}x}$, $(C_{1},C_{2})\in\R^{2}$ ;
• $\Delta=0$, racine double $r=-\frac{a}{2}$ : $\ y(x)=(C_{1}x+C_{2})\e^{rx}$, $(C_{1},C_{2})\in\R^{2}$ ;

• $\Delta<0$, racines $r=p\pm iq$ avec $p=-\frac{a}{2}$ et $q=\frac{\sqrt{-\Delta}}{2}>0$ :

  $$\boxed{y(x)=\e^{px}\bigl(C_{1}\cos(qx)+C_{2}\sin(qx)\bigr)},\quad (C_{1},C_{2})\in\R^{2},$$

  que l’on peut aussi écrire $y(x)=A\,\e^{px}\cos(qx-\varphi)$ avec $A\geq0$ et $\varphi\in\R$.

Idée de preuve (exigible). On pose $y=\e^{r_{1}x}z$ : comme $r_{1}^{2}+ar_{1}+b=0$, on obtient $y''+ay'+by=\e^{r_{1}x}\bigl(z''+(2r_{1}+a)z'\bigr)$, et $2r_{1}+a=r_{1}-r_{2}$. L’équation devient donc $z''+(r_{1}-r_{2})z'=0$, du premier ordre en $z'$ : si $r_{1}\neq r_{2}$, $z'=C\e^{(r_{2}-r_{1})x}$ puis $z=C_{1}\e^{(r_{2}-r_{1})x}+C_{2}$ ; si $r_{1}=r_{2}$, $z''=0$ et $z=C_{1}x+C_{2}$. Dans le cas réel avec $\Delta<0$, les formules d’Euler font passer de $\left(\e^{(p+iq)x},\e^{(p-iq)x}\right)$ à $\left(\e^{px}\cos(qx),\e^{px}\sin(qx)\right)$.

Théorème — structure et Cauchy. Si $y_{p}$ est une solution de $(E_{2})$ sur $I$, alors $\mathcal{S}_{E_{2}}=\ens{y_{p}+y_{h},\ y_{h}\in\mathcal{S}_{H_{2}}}$ : les solutions forment une famille à deux constantes. Le principe de superposition s’applique comme à l’ordre $1$. Enfin, pour $x_{0}\in I$ et $(y_{0},y_{1})\in\mathbb{K}^{2}$, il existe une unique solution de $(E_{2})$ sur $I$ telle que $y(x_{0})=y_{0}$ et $y'(x_{0})=y_{1}$. La démonstration de ce dernier point est hors programme.

Méthode — solution particulière selon le second membre. on note $m\in\ens{0,1,2}$ la multiplicité de $\lambda$ comme racine de l’équation caractéristique ($m=0$ si $\lambda$ n’en est pas racine).

• $f=P$ polynomiale de degré $n$ : $y_{p}$ polynomiale de degré $n$ si $b\neq0$ ; de la forme $xQ(x)$ avec $\deg Q=n$ si $b=0$ et $a\neq0$ ; deux primitivations si $a=b=0$.
• $f(x)=A\e^{\lambda x}$ : on cherche $y_{p}(x)=\mu\,x^{m}\e^{\lambda x}$ ; le cas $m\geq1$ est le cas résonant. Plus généralement, pour $f(x)=\e^{\lambda x}P(x)$ : $y_{p}(x)=x^{m}Q(x)\e^{\lambda x}$ avec $\deg Q=\deg P$.
• $f(x)=B\cos(\omega x)$ ou $B\sin(\omega x)$, avec $a,b$ réels : on résout $y''+ay'+by=B\e^{i\omega x}$ puis on prend la partie réelle (ou imaginaire) d’une solution complexe.
• Second membre somme : on traite chaque terme séparément et on additionne (superposition).