Matrices et applications linéaires

Dans toute la fiche $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$ ; $E$, $F$, $G$ sont des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie non nulle, $\dim E=p$, $\dim F=n$, $\dim G=q$. Le déterminant n’intervient pas dans ce chapitre : il est l’objet du chapitre 20.

1Coordonnées d’un vecteur, matrice d’une famille

Définition. Soit $\mathcal{B}=(e_{1},\dots,e_{p})$ une base de $E$. Tout $x\in E$ s’écrit de manière unique $x=\sum_{j=1}^{p}x_{j}e_{j}$ ; la matrice de $x$ dans $\mathcal{B}$ est la colonne

Propriété. L’application $x\mapsto\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}\!\left(x\right)$ est un isomorphisme de $E$ sur $\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})$, que l’on identifie à $\mathbb{K}^{p}$ : toute question linéaire sur $E$ (liberté, rang, somme directe) se transporte en une question sur des colonnes de scalaires.

Définition. La matrice d’une famille $(x_{1},\dots,x_{m})$ dans la base $\mathcal{B}$ est la matrice de $\mathcal{M}_{p,m}(\mathbb{K})$ dont la $j$-ième colonne est $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}\!\left(x_{j}\right)$. Son rang est le rang de la famille : celle-ci est libre si et seulement si ce rang vaut $m$, et c’est une base de $E$ si et seulement si la matrice est carrée inversible.

2Matrice d’une application linéaire dans un couple de bases

Définition. Soient $\mathcal{B}=(e_{1},\dots,e_{p})$ une base de $E$, $\mathcal{C}=(f_{1},\dots,f_{n})$ une base de $F$ et $u\in\mathcal{L}(E,F)$. La matrice de $u$ dans le couple de bases $(\mathcal{B},\mathcal{C})$ est $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\!\left(u\right)=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ définie par

autrement dit : la $j$-ième colonne est la colonne des coordonnées de $u(e_{j})$ dans la base d’arrivée $\mathcal{C}$. Pour un endomorphisme on prend $\mathcal{C}=\mathcal{B}$ et l’on note $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}\!\left(u\right)\in\mathcal{M}_{p}(\mathbb{K})$.

Théorème — coordonnées de l’image. Avec les notations précédentes, pour tout $x\in E$,

Théorème — isomorphisme de représentation. L’application $u\mapsto\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\!\left(u\right)$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels de $\mathcal{L}(E,F)$ sur $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ ; en particulier $\dim\mathcal{L}(E,F)=np$. Idée de preuve : la linéarité vient de l’unicité des coordonnées, la bijectivité est le théorème de détermination d’une application linéaire par l’image d’une base (chapitre 17).

Théorème — matrice d’une composée. Soient $u\in\mathcal{L}(E,F)$, $v\in\mathcal{L}(F,G)$ et $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ des bases de $E$, $F$, $G$. Alors

Idée de preuve (exigible). Avec $A=(a_{i,j})=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\!\left(u\right)$, $B=(b_{k,i})=\mathrm{Mat}_{\mathcal{C},\mathcal{D}}\!\left(v\right)$ et $\mathcal{D}=(g_{k})$, la linéarité de $v$ donne $v\bigl(u(e_{j})\bigr)=\sum_{i}a_{i,j}v(f_{i})=\sum_{i}a_{i,j}\sum_{k}b_{k,i}g_{k}=\sum_{k}\bigl(\sum_{i}b_{k,i}a_{i,j}\bigr)g_{k}$, et $\sum_{i}b_{k,i}a_{i,j}$ est le coefficient $(k,j)$ de $BA$. C’est cette formule qui justifie la définition du produit matriciel.

Théorème — cas des endomorphismes. Soit $\mathcal{B}$ une base de $E$. L’application $u\mapsto\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}\!\left(u\right)$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels et d’anneaux de $\mathcal{L}(E)$ sur $\mathcal{M}_{p}(\mathbb{K})$ : elle transforme $\circ$ en produit matriciel et $\operatorname{id}_{E}$ en $I_{p}$. Par conséquent

Plus généralement $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}\!\left(u^{k}\right)=\bigl(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}\!\left(u\right)\bigr)^{k}$ pour $k\in\N$, et pour $k\in\Z$ si $u$ est un automorphisme. Toute identité polynomiale en $u$ se traduit donc en la même identité en $A$, et réciproquement.

3Application linéaire canoniquement associée à une matrice

Définition. Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. L’application linéaire canoniquement associée à $A$ est $u_{A}:\mathbb{K}^{p}\to\mathbb{K}^{n}$, $X\mapsto AX$. On pose alors $\operatorname{Ker} A=\operatorname{Ker} u_{A}$, $\operatorname{Im} A=\operatorname{Im} u_{A}$ et $\operatorname{rg} A=\operatorname{rg} u_{A}$.

Propriété. $\operatorname{Im} A=\operatorname{Vect}(C_{1},\dots,C_{p})$ où $C_{1},\dots,C_{p}$ sont les colonnes de $A$ ; donc $\operatorname{rg} A=\operatorname{rg}(C_{1},\dots,C_{p})$. Les lignes de $A$ fournissent un système de $n$ équations de $\operatorname{Ker} A$. Enfin, pour tout $u\in\mathcal{L}(E,F)$ et tout couple de bases, $\ \operatorname{rg} u=\operatorname{rg}\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\!\left(u\right)$.

Théorème — théorème du rang, version matricielle. Pour $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ : $\ \dim\operatorname{Ker} A+\operatorname{rg} A=p$ (nombre de colonnes), et $\operatorname{rg} A\leq\min(n,p)$.

Théorème — caractérisations de l’inversibilité. Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

De plus toute matrice carrée inversible à gauche ou à droite est inversible : si $AB=I_{n}$ alors $BA=I_{n}$ et $B=A^{-1}$ — traduction du résultat « en dimension finie, un endomorphisme inversible d’un côté est inversible » (chapitre 17). Rappel du chapitre 13 : une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.

4Systèmes linéaires

Propriété. Soient $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ : le système $AX=B$ a $p$ inconnues, $n$ équations, et son rang est $\operatorname{rg} A$. Les solutions de l’homogène $AX=0$ forment $\operatorname{Ker} A$, de dimension $p-\operatorname{rg} A$. Le système est compatible $\iff B\in\operatorname{Im} A\iff B$ est combinaison linéaire des colonnes de $A$ $\iff\operatorname{rg}(A\mid B)=\operatorname{rg} A$ ; il a alors pour solutions le sous-espace affine $X_{0}+\operatorname{Ker} A$, de dimension $p-\operatorname{rg} A$ ($X_{0}$ solution particulière). Un système de Cramer est un système avec $A$ carrée inversible : solution unique $X=A^{-1}B$, pour tout $B$.

5Matrices de passage et changements de bases

Définition. Soient $\mathcal{B}=(e_{1},\dots,e_{p})$ et $\mathcal{B}'=(e'_{1},\dots,e'_{p})$ deux bases de $E$. La matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ est

c’est-à-dire la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des nouveaux vecteurs dans l’ancienne base.

Propriété. $P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ est inversible, $\ \bigl(P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}\bigr)^{-1}=P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}}$, et $\ P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}''}=P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}''}$. Réciproquement, si $\mathcal{B}$ est une base et $P\in\mathrm{GL}_{p}(\mathbb{K})$, les colonnes de $P$ sont les coordonnées d’une unique base $\mathcal{B}'$ telle que $P=P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$.

Théorème — changement de base pour un vecteur. Soit $x\in E$, $X=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}\!\left(x\right)$, $X'=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}\!\left(x\right)$ et $P=P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$. Alors

Théorème — changement de bases pour une application linéaire. Soient $u\in\mathcal{L}(E,F)$, $\mathcal{B},\mathcal{B}'$ des bases de $E$, $\mathcal{C},\mathcal{C}'$ des bases de $F$, $P=P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$, $Q=P_{\mathcal{C}\to\mathcal{C}'}$, $A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\!\left(u\right)$ et $A'=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}',\mathcal{C}'}\!\left(u\right)$. Alors

Dans le cas d’un endomorphisme ($F=E$, $\mathcal{C}=\mathcal{B}$, $\mathcal{C}'=\mathcal{B}'$, donc $Q=P$) :

Idée de preuve (exigible). On écrit $u=\operatorname{id}_{F}\circ u\circ\operatorname{id}_{E}$ et l’on applique deux fois la formule de la composée :

Contrôle sur les coordonnées : $Y=AX$, $X=PX'$ et $Y=QY'$ donnent $QY'=APX'$, soit $Y'=Q^{-1}APX'$.

Méthode — chercher une base où la matrice est simple. on cherche des vecteurs remarquables — invariants ($u(x)=x$), du noyau, ou vérifiant $u(x)=\lambda x$ —, on vérifie qu’ils forment une base (famille libre de bon cardinal), on écrit $P$ avec ces vecteurs en colonnes et l’on conclut $A'=P^{-1}AP$. Si $A'$ est diagonale, $A^{k}=P\,A'^{\,k}P^{-1}$ est immédiat.

6Matrices équivalentes et rang

Définition. $A,B\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ sont équivalentes s’il existe $P\in\mathrm{GL}_{p}(\mathbb{K})$ et $Q\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$ telles que $B=Q^{-1}AP$ : ce sont les matrices d’une même application linéaire dans des couples de bases éventuellement différents. C’est une relation d’équivalence sur $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$.

Notation. Pour $0\leq r\leq\min(n,p)$, on note $J_{r}=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ (coefficients $1$ aux $r$ premières places diagonales, $0$ ailleurs).

Théorème — forme réduite. Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$ de rang $r$. Il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ et une base $\mathcal{C}$ de $F$ telles que $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\!\left(u\right)=J_{r}$. Par conséquent, pour $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ :

et deux matrices de même format sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang : le rang est le seul invariant de cette relation.

Idée de preuve (exigible). Soit $(e_{r+1},\dots,e_{p})$ une base de $\operatorname{Ker} u$, complétée en une base $\mathcal{B}=(e_{1},\dots,e_{p})$ de $E$. Par le théorème du rang géométrique, $\bigl(u(e_{1}),\dots,u(e_{r})\bigr)$ est une base de $\operatorname{Im} u$ ; on la complète en une base $\mathcal{C}$ de $F$ en posant $f_{i}=u(e_{i})$ pour $i\leq r$. Alors $u(e_{j})=f_{j}$ pour $j\leq r$ et $u(e_{j})=0$ sinon : la matrice est $J_{r}$.

Théorème — rang de la transposée. Pour toute $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ : $\ \boxed{\operatorname{rg}\bigl({}^{t}\!A\bigr)=\operatorname{rg} A.}$ Le rang d’une matrice est donc aussi le rang de la famille de ses lignes.

Idée de preuve (exigible). Si $r=\operatorname{rg} A$, écrivons $A=QJ_{r}P^{-1}$ avec $P,Q$ inversibles ; en transposant, ${}^{t}\!A={}^{t}\!(P^{-1})\,{}^{t}\!J_{r}\,{}^{t}\!Q$, où ${}^{t}\!J_{r}$ est le $J_{r}$ de format $p\times n$ et où ${}^{t}\!(P^{-1})$, ${}^{t}\!Q$ sont inversibles. Donc ${}^{t}\!A$ est équivalente à $J_{r}$, et $\operatorname{rg}{}^{t}\!A=r$.

Propriété — opérations élémentaires. Les opérations élémentaires sur les lignes (resp. colonnes) reviennent à multiplier à gauche (resp. à droite) par une matrice inversible : elles conservent le rang. Plus précisément, celles sur les colonnes conservent $\operatorname{Im} A$, celles sur les lignes conservent $\operatorname{Ker} A$. D’où la méthode : échelonner, compter les pivots.

Théorème — rang et matrices extraites. Une matrice extraite de $A$ s’obtient en ne gardant que certaines lignes et certaines colonnes ; on a toujours $\operatorname{rg} A'\leq\operatorname{rg} A$, et $\operatorname{rg} A$ est la plus grande taille $s$ d’une matrice carrée d’ordre $s$ extraite de $A$ et inversible.

7Matrices semblables et trace

Définition. $A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ sont semblables s’il existe $P\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$ telle que $B=P^{-1}AP$. C’est une relation d’équivalence sur $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$. Interprétation : $A$ et $B$ sont semblables si et seulement si elles représentent un même endomorphisme dans deux bases de $E$.

Remarque. Deux matrices semblables sont équivalentes (prendre $Q=P$), donc de même rang ; la réciproque est fausse : $\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}\right)$ et $\left(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\right)$ sont équivalentes (même rang $1$) mais non semblables (la première est un projecteur, la seconde est de carré nul).

Définition. La trace de $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ est $\ \operatorname{tr} A=\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}$ (somme des coefficients diagonaux).

Propriété. $\operatorname{tr}$ est une forme linéaire non nulle sur $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$, avec $\operatorname{tr} I_{n}=n$ et $\operatorname{tr}\bigl({}^{t}\!A\bigr)=\operatorname{tr} A$ ; l’ensemble des matrices de trace nulle est donc un hyperplan de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$, de dimension $n^{2}-1$.

Théorème — la propriété clé. Pour toutes $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B\in\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})$ : $\ \boxed{\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).}$

Démonstration (exigible). $\displaystyle\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i=1}^{n}(AB)_{i,i}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p}a_{i,j}b_{j,i}=\sum_{j=1}^{p}\sum_{i=1}^{n}b_{j,i}a_{i,j}=\sum_{j=1}^{p}(BA)_{j,j}=\operatorname{tr}(BA)$, l’interversion portant sur une somme finie.

Remarque. $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$ ne dit pas que $AB=BA$, et $\operatorname{tr}(AB)\neq\operatorname{tr} A\,\operatorname{tr} B$ en général ; pour trois matrices, seules les permutations circulaires sont permises : $\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CAB)$, mais $\operatorname{tr}(ABC)\neq\operatorname{tr}(BAC)$ en général.

Théorème — invariance par similitude. Si $A$ et $B$ sont semblables, alors $\operatorname{rg} A=\operatorname{rg} B$ et $\operatorname{tr} A=\operatorname{tr} B$. En effet $\operatorname{tr}\bigl(P^{-1}AP\bigr)=\operatorname{tr}\bigl(AP P^{-1}\bigr)=\operatorname{tr} A$ en appliquant la propriété clé à $P^{-1}$ et $AP$.

Définition — trace d’un endomorphisme. Soit $u\in\mathcal{L}(E)$, $\dim E=n$. Toutes les matrices de $u$ dans les différentes bases de $E$ sont semblables, donc ont la même trace : on appelle trace de $u$ ce scalaire commun, noté $\operatorname{tr} u$. C’est une forme linéaire sur $\mathcal{L}(E)$, avec $\operatorname{tr}\operatorname{id}_{E}=n$ et $\operatorname{tr}(v\circ u)=\operatorname{tr}(u\circ v)$.

Théorème — trace d’un projecteur. Si $p\in\mathcal{L}(E)$ est un projecteur ($p^{2}=p$) alors $\ \boxed{\operatorname{tr} p=\operatorname{rg} p.}$

Démonstration (exigible). On a $E=\operatorname{Im} p\oplus\operatorname{Ker} p$ (chapitre 17). En concaténant une base $(e_{1},\dots,e_{r})$ de $\operatorname{Im} p$ et une base $(e_{r+1},\dots,e_{n})$ de $\operatorname{Ker} p$, on obtient une base $\mathcal{B}$ de $E$ adaptée. Comme $p$ est l’identité sur $\operatorname{Im} p$, $p(e_{i})=e_{i}$ pour $i\leq r$ et $p(e_{j})=0$ pour $j>r$ : donc $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}\!\left(p\right)=J_{r}$ avec $r=\operatorname{rg} p$, et $\operatorname{tr} p=r$.

Remarque. Le rang et la trace sont des invariants de similitude, mais ils ne la caractérisent pas : $I_{2}$ et $\left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)$ ont même rang $2$ et même trace $2$ sans être semblables (une matrice semblable à $I_{2}$ est $I_{2}$). Pour réfuter une similitude : comparer rang, trace, trace des puissances, ou exhiber une relation polynomiale vérifiée par l’une et pas par l’autre.