Calcul matriciel

Dans toute la fiche, $\mathbb{K}$ désigne $\R$ ou $\C$, et $n$, $p$, $q$ des entiers naturels non nuls. Tout ce chapitre est purement calculatoire : ni espace vectoriel, ni application linéaire, ni déterminant.

1Matrices : ensemble, somme, produit par un scalaire

Définition. Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{K}$ est une famille $A=(a_{i,j})_{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq p}$ d’éléments de $\mathbb{K}$, représentée par un tableau. L’ensemble de ces matrices est noté $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$, et $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})=\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{K})$ (matrices carrées d’ordre $n$). Le scalaire $a_{i,j}$ est le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ : la ligne d’abord. Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont même format et mêmes coefficients.

Notation. $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ est l’ensemble des colonnes, $\mathcal{M}_{1,p}(\mathbb{K})$ celui des lignes ; $0_{n,p}$ (ou $0$) est la matrice nulle.

Définition. Pour $A=(a_{i,j})$, $B=(b_{i,j})$ dans $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $\lambda\in\mathbb{K}$, on pose $A+B=(a_{i,j}+b_{i,j})$ et $\lambda A=(\lambda a_{i,j})$ : on ajoute coefficient par coefficient, et seules deux matrices de même format peuvent être ajoutées. Alors $\bigl(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),+\bigr)$ est un groupe commutatif de neutre $0_{n,p}$, l’opposé de $A$ étant $-A=(-1)A$, et $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$, $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$, $(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)$, $1A=A$.

Définition. Les matrices élémentaires $E_{i,j}\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ ($i\in\intent{1}{n}$, $j\in\intent{1}{p}$) sont définies par : le coefficient de $E_{i,j}$ en position $(k,\ell)$ vaut $\delta_{i,k}\,\delta_{j,\ell}$, où $\delta$ est le symbole de Kronecker ($\delta_{i,k}=1$ si $i=k$, $0$ sinon). Autrement dit $E_{i,j}$ n’a qu’un coefficient non nul, égal à $1$, en position $(i,j)$.

Propriété. Toute matrice $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ s’écrit de manière unique $\displaystyle A=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p}a_{i,j}E_{i,j}$ : les matrices élémentaires engendrent $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$.

2Produit matriciel

Définition. Soient $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B=(b_{j,k})\in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})$. Le produit $AB$ est la matrice de $\mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})$ de coefficients

Le produit $AB$ n’est défini que si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$.

Propriété — règles de calcul. Pour des matrices de formats compatibles et $\lambda\in\mathbb{K}$ : bilinéarité $A(B+C)=AB+AC$, $(A+B)C=AC+BC$, $(\lambda A)B=A(\lambda B)=\lambda(AB)$ ; associativité $(AB)C=A(BC)$ ; $I_{n}A=AI_{p}=A$ pour $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$, où $I_{n}=(\delta_{i,j})$ est la matrice identité ; enfin $\ E_{i,j}E_{k,\ell}=\delta_{j,k}\,E_{i,\ell}$ : le produit de deux matrices élémentaires est nul ou élémentaire.

Idée de preuve (exigible). Pour l’associativité on calcule les deux coefficients généraux : $\bigl((AB)C\bigr)_{i,\ell}=\sum_{k}\bigl(\sum_{j}a_{i,j}b_{j,k}\bigr)c_{k,\ell}=\sum_{j}\sum_{k}a_{i,j}b_{j,k}c_{k,\ell}$, et $\bigl(A(BC)\bigr)_{i,\ell}$ donne la même somme double (interversion licite : sommes finies).

Propriété — lecture en colonnes et en lignes. Notons $C_{1},\dots,C_{p}$ les colonnes de $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. Pour $X={}^{t}\!(x_{1}\ \cdots\ x_{p})\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})$,

$AX$ est la combinaison linéaire des colonnes de $A$ dont les coefficients sont ceux de $X$. Plus généralement la $k$-ième colonne de $AB$ est $A\times(k$-ième colonne de $B)$, et la $i$-ième ligne de $AB$ est $(i$-ième ligne de $A)\times B$.

3Transposition

Définition. La transposée de $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ est ${}^{t}\!A\in\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})$, de coefficients $\bigl({}^{t}\!A\bigr)_{i,j}=a_{j,i}$ : on échange lignes et colonnes (on écrit aussi $A^{t}$). Pour $A,B$ de formats compatibles et $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$ :

Idée de preuve (exigible). $\bigl({}^{t}\!(AB)\bigr)_{i,k}=(AB)_{k,i}=\sum_{j}a_{k,j}b_{j,i}=\sum_{j}\bigl({}^{t}\!B\bigr)_{i,j}\bigl({}^{t}\!A\bigr)_{j,k}=\bigl({}^{t}\!B\,{}^{t}\!A\bigr)_{i,k}$.

4Matrices carrées particulières

Définition. Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$. Elle est diagonale si $a_{i,j}=0$ pour $i\neq j$ (notation $\mathrm{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$), scalaire si $A=\lambda I_{n}$ pour un $\lambda\in\mathbb{K}$, triangulaire supérieure si $a_{i,j}=0$ pour $i>j$ et triangulaire inférieure si $a_{i,j}=0$ pour $i<j$, symétrique si ${}^{t}\!A=A$ et antisymétrique si ${}^{t}\!A=-A$ (ensembles notés $\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K})$ et $\mathcal{A}_{n}(\mathbb{K})$, ou $S_{n}(\mathbb{K})$ et $A_{n}(\mathbb{K})$), enfin nilpotente s’il existe $k\in\N^{*}$ tel que $A^{k}=0$.

Propriété. Une matrice antisymétrique a tous ses coefficients diagonaux nuls (car $a_{i,i}=-a_{i,i}$), et toute $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ s’écrit de manière unique $A=S+N$ avec $S\in\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K})$, $N\in\mathcal{A}_{n}(\mathbb{K})$ : nécessairement $S=\frac{1}{2}\bigl(A+{}^{t}\!A\bigr)$ et $N=\frac{1}{2}\bigl(A-{}^{t}\!A\bigr)$.

Propriété — stabilité. La somme et le produit de deux matrices diagonales (resp. triangulaires supérieures, resp. inférieures) sont de même nature. De plus

et si $A$, $B$ sont triangulaires supérieures, les coefficients diagonaux de $AB$ sont les produits $a_{i,i}b_{i,i}$. Les matrices diagonales commutent entre elles, pas les matrices triangulaires.

5L’anneau $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ et le groupe $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$

Théorème. $\bigl(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),+,\times\bigr)$ est un anneau, d’unité $I_{n}$. Il est commutatif si et seulement si $n=1$. Pour $n\geq2$, il n’est pas intègre : il possède des diviseurs de zéro (par exemple $E_{1,1}E_{2,2}=0$) et des éléments nilpotents non nuls (par exemple $E_{1,2}$, dont le carré est nul).

Les matrices scalaires commutent avec toutes les matrices : $(\lambda I_{n})A=A(\lambda I_{n})=\lambda A$.

Définition. $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ est inversible s’il existe $B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ telle que $AB=BA=I_{n}$. Une telle $B$ est alors unique, notée $A^{-1}$. L’ensemble des matrices inversibles est le groupe linéaire $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$.

Théorème. $\bigl(\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K}),\times\bigr)$ est un groupe (sous-groupe du groupe des inversibles de l’anneau $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$), et pour $A,B\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$ :

Idée de preuve. Pour la dernière : transposer $AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}$ donne ${}^{t}\!\bigl(A^{-1}\bigr){}^{t}\!A={}^{t}\!A\,{}^{t}\!\bigl(A^{-1}\bigr)=I_{n}$.

Propriété — cas $n=2$. Pour $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, on a $A\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}A=(ad-bc)I_{2}$. Donc si $ad-bc\neq0$, $A$ est inversible et

si $ad-bc=0$, $A$ n’est pas inversible (voir la méthode ci-dessous, ou exhiber $X\neq0$ avec $AX=0$).

Théorème — matrices triangulaires. Une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls ; son inverse est alors triangulaire de même type, de coefficients diagonaux les $1/a_{i,i}$. En particulier $\mathrm{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ est inversible si et seulement si tous les $\lambda_{i}$ sont non nuls, et son inverse est $\mathrm{diag}\bigl(\lambda_{1}^{-1},\dots,\lambda_{n}^{-1}\bigr)$.

6Puissances et formule du binôme

Définition. Pour $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ : $A^{0}=I_{n}$ et $A^{k+1}=A^{k}A$. Si $A$ est inversible, $A^{-k}=\bigl(A^{-1}\bigr)^{k}$.

Théorème — binôme et factorisation. Soient $A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ telles que $\boxed{AB=BA}$. Alors, pour tout $k\in\N$ :

Idée de preuve (exigible). C’est le calcul dans un anneau pour deux éléments qui commutent (chapitre 12) : récurrence sur $k$ utilisant la relation de Pascal, la commutation servant à écrire $BA^{j}=A^{j}B$. Sans l’hypothèse $AB=BA$, la formule est fausse.

Méthode — calculer $A^{k}$. trois stratégies, par ordre de préférence. (i) $A$ diagonale : élever les coefficients diagonaux à la puissance $k$. (ii) $A=\lambda I_{n}+N$ avec $N$ nilpotente : $\lambda I_{n}$ et $N$ commutent, le binôme s’applique et la somme est finie, puisque $N^{j}=0$ dès que $j\geq r$ (où $N^{r}=0$). (iii) $A$ vérifie une relation $A^{2}=\alpha A+\beta I_{n}$ : chercher $A^{k}$ sous la forme $u_{k}A+v_{k}I_{n}$, les suites $(u_{k})$ et $(v_{k})$ vérifiant une récurrence linéaire d’ordre $2$ (chapitre 8).

Remarque. Une relation $A^{2}=\alpha A+\beta I_{n}$ avec $\beta\neq0$ donne aussi l’inverse : $A\bigl(\frac{1}{\beta}(A-\alpha I_{n})\bigr)=I_{n}$, donc $A\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$ et $A^{-1}=\frac{1}{\beta}(A-\alpha I_{n})$.

7Opérations élémentaires

Définition. Les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice sont :

On définit de même les opérations sur les colonnes : $C_{i}\leftrightarrow C_{j}$, $C_{i}\leftarrow\lambda C_{i}$, $C_{i}\leftarrow C_{i}+\lambda C_{j}$.

Théorème — interprétation matricielle. Posons, dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$,

Effectuer sur $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ l’opération $L_{i}\leftrightarrow L_{j}$ (resp. $L_{i}\leftarrow\lambda L_{i}$, resp. $L_{i}\leftarrow L_{i}+\lambda L_{j}$) revient à remplacer $A$ par $P_{i,j}A$ (resp. $D_{i}(\lambda)A$, resp. $T_{i,j}(\lambda)A$) : une opération sur les lignes est une multiplication à gauche. Les opérations sur les colonnes correspondent à une multiplication à droite par les matrices analogues de $\mathcal{M}_{p}(\mathbb{K})$.

Propriété. Ces trois matrices sont inversibles : $P_{i,j}^{-1}=P_{i,j}$, $D_{i}(\lambda)^{-1}=D_{i}\bigl(\lambda^{-1}\bigr)$, $T_{i,j}(\lambda)^{-1}=T_{i,j}(-\lambda)$. Conséquence : une opération élémentaire ne change ni l’inversibilité d’une matrice carrée, ni l’ensemble des solutions du système $AX=B$ lorsqu’on l’applique simultanément à $A$ et à $B$ (car $MAX=MB\iff AX=B$ pour $M$ inversible).

8Échelonnement, pivot de Gauss, rang

Définition. Une matrice $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ est échelonnée en lignes si ses lignes nulles sont situées sous ses lignes non nulles et si, pour deux lignes non nulles consécutives, l’indice de colonne du premier coefficient non nul — appelé pivot — de la ligne du bas est strictement plus grand que celui de la ligne du haut. Elle est échelonnée réduite si de plus chaque pivot vaut $1$ et est le seul coefficient non nul de sa colonne.

Théorème — algorithme du pivot de Gauss. Toute matrice de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ peut être transformée, par un nombre fini d’opérations élémentaires sur les lignes, en une matrice échelonnée réduite. Principe : on cherche dans la première colonne non nulle un coefficient non nul, on l’amène en haut par un échange, on le normalise, on annule tous les autres coefficients de sa colonne par des transvections, puis on recommence avec les lignes et colonnes suivantes.

Définition. Le rang de $A$, noté $\operatorname{rg} A$, est le nombre de pivots d’une matrice échelonnée obtenue à partir de $A$ par opérations sur les lignes. On admet que ce nombre ne dépend pas des opérations choisies (ce point sera démontré au chapitre 18). On a toujours $0\leq\operatorname{rg} A\leq\min(n,p)$, et $\operatorname{rg} A=0\iff A=0$.

Théorème — inversibilité et rang. Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

Idée de preuve (exigible). Si la forme échelonnée réduite est $I_{n}$, il existe $M$ inversible (produit de matrices élémentaires) telle que $MA=I_{n}$ ; alors $A=M^{-1}$ est inversible. Réciproquement, si $\operatorname{rg} A<n$, la forme échelonnée a une ligne nulle, donc $AX=0$ a strictement moins de $n$ inconnues principales et admet une solution $X\neq0$ ; or $AX=0$ et $A$ inversible donneraient $X=A^{-1}0=0$.

Méthode — calcul de $A^{-1}$ par le pivot. écrire côte à côte $\bigl(A\mid I_{n}\bigr)$ et appliquer aux deux blocs simultanément les opérations sur les lignes qui réduisent $A$. Si l’on aboutit à $\bigl(I_{n}\mid B\bigr)$, alors $A$ est inversible et $A^{-1}=B$ ; si une ligne de la partie gauche devient nulle, $A$ n’est pas inversible. Justification : chaque étape multiplie à gauche par une matrice inversible, donc à la fin $MA=I_{n}$ et $MI_{n}=B$ avec $M$ inversible : $M=B$ et $B=A^{-1}$. Contrôle obligatoire : vérifier $AB=I_{n}$.

9Systèmes linéaires

Notation. Un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues $x_{1},\dots,x_{p}$ s’écrit matriciellement

Le système homogène associé est $(\mathcal{S}_{0})$ : $AX=0$. On dit que $(\mathcal{S})$ est compatible s’il admet au moins une solution.

Théorème — compatibilité. $(\mathcal{S})$ est compatible si et seulement si $B$ est combinaison linéaire des colonnes de $A$ (car $AX=\sum_{j}x_{j}C_{j}$).

Théorème — structure de l’ensemble des solutions. Si $X_{0}$ est une solution de $(\mathcal{S})$, l’ensemble des solutions de $(\mathcal{S})$ est

Idée de preuve (exigible). Si $AX_{0}=B$ et $AY=0$ alors $A(X_{0}+Y)=B$ ; réciproquement si $AX=B$ alors $A(X-X_{0})=B-B=0$, donc $Y=X-X_{0}$ est solution de $(\mathcal{S}_{0})$ et $X=X_{0}+Y$.

Méthode — résolution par le pivot. échelonner $\bigl(A\mid B\bigr)$ par opérations sur les lignes, puis lire la forme échelonnée. Une ligne $\bigl(0\ \cdots\ 0\mid\beta\bigr)$ avec $\beta\neq0$ signifie $0=\beta$ : le système est incompatible et $\mathcal{S}=\varnothing$. Sinon il est compatible : les inconnues associées aux colonnes de pivot sont principales (il y en a $r=\operatorname{rg} A$), les $p-r$ autres sont secondaires et se choisissent librement (ce sont les paramètres). Si $r=p$ la solution est unique ; si $r<p$ il y en a une infinité.

Définition. Un système de Cramer est un système $AX=B$ dont la matrice $A$ est carrée et inversible. Il admet alors une unique solution, $X=A^{-1}B$, et ceci pour tout second membre $B$.