Fonctions usuelles

1Généralités sur les fonctions

Définition. Soit $f$ une fonction d’une variable réelle. Son ensemble de définition $D_{f}$ est l’ensemble des $x\in\R$ pour lesquels $f(x)$ existe. Sa courbe représentative dans un repère est $\Cf=\ens{\bigl(x,f(x)\bigr),\ x\in D_{f}}$.

Définition. Soit $D\subset\R$ symétrique par rapport à $0$ (c’est-à-dire $-x\in D$ pour tout $x\in D$). Une fonction $f:D\to\R$ est paire si $\forall x\in D,\ f(-x)=f(x)$, impaire si $\forall x\in D,\ f(-x)=-f(x)$. Soit $T>0$ : $f$ est $T$-périodique si $\forall x\in D$, $x+T\in D$ et $f(x+T)=f(x)$.

Remarque. La symétrie du domaine fait partie de la définition : $x\mapsto\ln\bigl(x^{2}\bigr)$ est paire, mais $x\mapsto \ln x+\ln(-x)$ n’a aucun sens. Graphiquement : $f$ paire $\iff\Cf$ symétrique par rapport à $(Oy)$ ; $f$ impaire $\iff\Cf$ symétrique par rapport à $O$ ; $f$ $T$-périodique $\iff\Cf$ invariante par la translation de vecteur $T\vv{\imath}$.

Méthode — réduire le domaine d’étude. si $f$ est $T$-périodique, on l’étudie sur un intervalle de longueur $T$ ; si de plus $f$ est paire ou impaire, sur la moitié de cet intervalle, et l’on complète par les symétries ci-dessus.

Propriété — transformations du graphe. Soient $a\in\R$, $\lambda\in\R^{*}$. La courbe de $x\mapsto f(x)+a$ se déduit de $\Cf$ par la translation de vecteur $a\vv{\jmath}$ ; celle de $x\mapsto f(x+a)$ par la translation de vecteur $-a\vv{\imath}$ (attention au signe) ; celle de $x\mapsto\lambda f(x)$ par l’affinité verticale de rapport $\lambda$, celle de $x\mapsto f(\lambda x)$ par l’affinité horizontale de rapport $\frac{1}{\lambda}$ ; celle de $x\mapsto\abs{f(x)}$ en symétrisant par rapport à $(Ox)$ la partie de $\Cf$ située au-dessous de l’axe.

Définition. Soit $f:D\to\R$. $f$ est majorée si $\exists M\in\R,\ \forall x\in D,\ f(x)\leq M$ ; minorée si $\exists m\in\R,\ \forall x\in D,\ f(x)\geq m$ ; bornée si elle est majorée et minorée — ce qui équivaut à : $\abs{f}$ est majorée. $f$ est croissante sur un intervalle $I$ si $\forall(x,y)\in I^{2},\ x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$, strictement croissante si $x<y\Rightarrow f(x)<f(y)$ ; de même pour la décroissance ; monotone = croissante ou décroissante. Enfin $f$ admet un maximum global en $a\in D$ si $\forall x\in D,\ f(x)\leq f(a)$, et un maximum local en $a$ s’il existe $\eta>0$ tel que $\forall x\in D\cap\intff{a-\eta}{a+\eta},\ f(x)\leq f(a)$ ; idem pour les minimums, un extremum étant un maximum ou un minimum.

2Dérivation

Définition. $f$ est dérivable en $a$ si le taux d’accroissement $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie quand $x\to a$ ; cette limite est le nombre dérivé $f'(a)=\frac{\dd f}{\dd x}(a)$. La tangente à $\Cf$ au point d’abscisse $a$ a alors pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. L’étude théorique est faite au chapitre 10.

Théorème — opérations, admis. Soient $f$ et $g$ dérivables sur un intervalle $I$ et $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$. Alors $\lambda f+\mu g$ et $fg$ sont dérivables sur $I$, et

Si $u$ est dérivable sur $I$, à valeurs dans un intervalle $J$, et si $v$ est dérivable sur $J$, alors $v\circ u$ est dérivable sur $I$ et $\ \boxed{(v\circ u)'=u'\times\left(v'\circ u\right)}$.

Propriété — dérivées des composées usuelles. Pour $u$ dérivable et $n\in\Z$ :

Théorème — dérivée d’une réciproque, admis. Soit $f$ une bijection dérivable d’un intervalle $I$ sur un intervalle $J$, et soit $b=f(a)\in J$. Si $f'(a)\neq0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $b$ et

Interprétation géométrique. Les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$ ; la symétrie échange les tangentes, donc les pentes $p$ et $\frac{1}{p}$. Si $f'(a)=0$, la tangente horizontale devient verticale et $f^{-1}$ n’est pas dérivable en $b$.

Définition. $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $I$ si elle est dérivable sur $I$ et si $f'$ est continue sur $I$. On définit par récurrence $f^{(0)}=f$ et $f^{(n+1)}=\left(f^{(n)}\right)'$ lorsque cela a un sens ; $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ si $f^{(n)}$ existe et est continue.

Théorème — caractérisation des monotonies, admis. Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$. Alors $f$ est constante sur $I$ $\iff f'=0$ sur $I$ ; $f$ est croissante sur $I$ $\iff f'\geq0$ sur $I$ ; $f$ est strictement croissante sur $I$ $\iff$ $f'\geq0$ sur $I$ et $\ens{x\in I,\ f'(x)=0}$ ne contient aucun intervalle d’intérieur non vide.

Méthode — étudier une fonction. (1) domaine de définition ; (2) parité, périodicité, réduction du domaine ; (3) domaine de dérivabilité et calcul de $f'$ ; (4) signe de $f'$ (factoriser !) ; (5) tableau de variations avec valeurs et limites aux bornes ; (6) conclusion : extremums, allure, tangentes.

Méthode — démontrer une inégalité $u(x)\leq v(x)$ sur $I$. poser $\varphi=v-u$, étudier le signe de $\varphi'$, dresser le tableau de variations de $\varphi$ et comparer $\varphi$ à sa valeur en un point bien choisi (souvent une borne de $I$, où $\varphi$ s’annule).

Remarque — dérivées partielles. Pour $f$ fonction de deux variables, $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ est la dérivée de $x\mapsto f(x,y)$ à $y$ fixé, et $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ celle de $y\mapsto f(x,y)$ à $x$ fixé. Exemple : pour $f(x,y)=x^{2}y+\e^{xy}$, $\ \frac{\partial f}{\partial x}=2xy+y\e^{xy}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+x\e^{xy}$. Tout développement théorique est hors programme à ce stade.

3Exponentielle, logarithmes, puissances

Théorème. $\exp:\R\to\R_{+}^{*}$ est une bijection strictement croissante, de dérivée $\exp$, vérifiant $\e^{x+y}=\e^{x}\e^{y}$. Sa réciproque est le logarithme népérien $\ln:\R_{+}^{*}\to\R$, strictement croissant, de dérivée $x\mapsto\frac1x$, vérifiant $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ pour $a,b>0$ ; les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$. On note $\log x=\log_{10}x=\frac{\ln x}{\ln 10}$ (logarithme décimal), $\log_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}$ (logarithme de base $2$), et plus généralement $\log_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$ pour $a>0$, $a\neq1$.

Définition. Pour $x>0$ et $\alpha\in\R$, on pose $\ x^{\alpha}=\e^{\alpha\ln x}$. La fonction $x\mapsto x^{\alpha}$ est définie et dérivable sur $\R_{+}^{*}$, de dérivée $\alpha x^{\alpha-1}$. Pour $\alpha\in\Z$, $x\mapsto x^{\alpha}$ est aussi définie sur $\R_{-}^{*}$.

Propriété. Pour $x,y>0$ et $\alpha,\beta\in\R$ : $\ (xy)^{\alpha}=x^{\alpha}y^{\alpha}$, $\ x^{\alpha+\beta}=x^{\alpha}x^{\beta}$, $\ \left(x^{\alpha}\right)^{\beta}=x^{\alpha\beta}$, $\ \ln\left(x^{\alpha}\right)=\alpha\ln x$. Suivant le signe de $\alpha$, $x\mapsto x^{\alpha}$ est strictement croissante ($\alpha>0$), constante ($\alpha=0$) ou strictement décroissante ($\alpha<0$) sur $\R_{+}^{*}$. Si $\alpha>0$ elle se prolonge par continuité en $0$ par la valeur $0$.

Théorème — croissances comparées. Pour tous $\alpha>0$ et $\beta>0$ :

Retenir la hiérarchie : « l’exponentielle l’emporte sur toute puissance, qui l’emporte sur tout logarithme ».

Théorème — deux inégalités fondamentales. $\ \forall x\in\R,\ \e^{x}\geq1+x$ et $\forall x>-1,\ \ln(1+x)\leq x$.

Idée de preuve (exigible). Poser $\varphi(x)=\e^{x}-1-x$ : $\varphi'(x)=\e^{x}-1$ est du signe de $x$, donc $\varphi$ décroît sur $\R_{-}$, croît sur $\R_{+}$ et atteint son minimum en $0$, où $\varphi(0)=0$ ; d’où $\varphi\geq0$. De même $\psi(x)=x-\ln(1+x)$ a pour dérivée $\psi'(x)=\frac{x}{1+x}$, du signe de $x$ sur $\intoo{-1}{+\infty}$, et $\psi(0)=0$. Dans les deux cas l’égalité a lieu uniquement en $x=0$ : la courbe de $\exp$ est au-dessus de sa tangente en $0$, celle de $\ln$ au-dessous de la sienne en $1$.

4Valeur absolue et partie entière

Propriété. $x\mapsto\abs{x}$ est continue sur $\R$, dérivable sur $\R^{*}$ de dérivée $\frac{\abs{x}}{x}$ ($1$ si $x>0$, $-1$ si $x<0$), mais pas dérivable en $0$ : les taux d’accroissement à droite et à gauche valent $1$ et $-1$. De même, $\lfloor x\rfloor$ est l’unique entier vérifiant $\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1$, soit $\ x-1<\lfloor x\rfloor\leq x$. La fonction $x\mapsto\lfloor x\rfloor$ est constante sur chaque $\intfo{n}{n+1}$ ($n\in\Z$), donc dérivable de dérivée nulle sur $\R\setminus\Z$ ; elle n’est pas continue aux entiers. La partie fractionnaire $x\mapsto x-\lfloor x\rfloor$ est $1$-périodique, à valeurs dans $\intfo{0}{1}$.

5Fonctions circulaires réciproques

Théorème — définitions ; la bijectivité est admise, elle sera justifiée au chapitre 9. $\sin$ induit une bijection de $\intff{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ sur $\intff{-1}{1}$, de réciproque $\arcsin$$:\intff{-1}{1}\to\intff{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$, impaire et strictement croissante ; $\cos$ induit une bijection de $\intff{0}{\pi}$ sur $\intff{-1}{1}$, de réciproque $\arccos$$:\intff{-1}{1}\to\intff{0}{\pi}$, strictement décroissante (ni paire ni impaire) ; $\tan$ induit une bijection de $\intoo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ sur $\R$, de réciproque $\arctan$$:\R\to\intoo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$, impaire et strictement croissante.

Théorème — dérivées et domaines de dérivabilité — démonstration exigible.

En $\pm1$, $\arcsin$ et $\arccos$ sont continues mais non dérivables (tangentes verticales).

Idée de preuve. Pour $\arcsin$ : soit $y=\arcsin x$ avec $x\in\intoo{-1}{1}$, donc $y\in\intoo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ et $\sin'(y)=\cos y\neq0$ ; le théorème de dérivation d’une réciproque donne $\arcsin'(x)=\frac{1}{\cos y}$. Or $\cos y>0$ sur $\intoo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$, donc $\cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}}$. Même schéma pour $\arccos$ (avec $\sin y>0$ sur $\intoo{0}{\pi}$) et pour $\arctan$ (avec $\tan'(y)=1+\tan^{2}y=1+x^{2}$).

Propriété — identités. Pour $x\in\intff{-1}{1}$ : $\cos(\arcsin x)=\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^{2}}$ et $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$. Pour $x\in\R^{*}$ : $\arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}\,\varepsilon(x)$, où $\varepsilon(x)=1$ si $x>0$ et $-1$ si $x<0$. Enfin $\tan(\arctan x)=x$ et $\cos(\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$.

Idée de preuve (exigible). $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^{2}}$ : poser $y=\arcsin x\in\intff{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$, où $\cos y\geq0$, et utiliser $\cos^{2}y=1-\sin^{2}y$ — c’est la positivité de $\cos y$ qui autorise la racine. Pour $\arctan x+\arctan\frac1x$ : la fonction $g:x\mapsto\arctan x+\arctan\frac{1}{x}$ est dérivable sur $\R^{*}$ et $g'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{1}{1+x^{2}}=0$ ; $g$ est donc constante sur chacun des deux intervalles $\R_{+}^{*}$ et $\R_{-}^{*}$, et $g(1)=\frac{\pi}{2}$, $g(-1)=-\frac{\pi}{2}$.

Figure 1 — Les trois fonctions circulaires réciproques. Figure 2 — Les trois fonctions hyperboliques ; $\operatorname{th}$ a pour asymptotes $y=\pm1$.

6Fonctions hyperboliques

Définition. Pour $x\in\R$ : $\ \operatorname{ch}x=\dfrac{\e^{x}+\e^{-x}}{2}$, $\ \operatorname{sh}x=\dfrac{\e^{x}-\e^{-x}}{2}$, $\ \operatorname{th}x=\dfrac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}=\dfrac{\e^{x}-\e^{-x}}{\e^{x}+\e^{-x}}=\dfrac{\e^{2x}-1}{\e^{2x}+1}$.

Propriété. $\operatorname{ch}$ est paire, $\operatorname{sh}$ et $\operatorname{th}$ sont impaires ; $\operatorname{ch}x\geq1$ (donc $\operatorname{ch}$ ne s’annule jamais et $\operatorname{th}$ est définie sur $\R$) et $\abs{\operatorname{th}x}<1$. De plus

Ainsi $\operatorname{sh}$ et $\operatorname{th}$ sont strictement croissantes sur $\R$ ; $\operatorname{ch}$ décroît sur $\R_{-}$, croît sur $\R_{+}$, de minimum $\operatorname{ch}0=1$. Enfin $\ \e^{x}=\operatorname{ch}x+\operatorname{sh}x$ et $\e^{-x}=\operatorname{ch}x-\operatorname{sh}x$.

Théorème — seule formule exigible. $\ \boxed{\forall x\in\R,\ \operatorname{ch}^{2}x-\operatorname{sh}^{2}x=1.}$

Démonstration (exigible). $\operatorname{ch}^{2}x-\operatorname{sh}^{2}x=\left(\operatorname{ch}x-\operatorname{sh}x\right)\left(\operatorname{ch}x+\operatorname{sh}x\right)=\e^{-x}\,\e^{x}=\e^{0}=1$.

7Fonctions à valeurs complexes

Définition. Soit $f:I\to\C$, $I$ intervalle de $\R$. On note $f=\Ree(f)+i\,\Imm(f)$, où $\Ree(f)$ et $\Imm(f)$ sont des fonctions de $I$ dans $\R$. On dit que $f$ est dérivable si $\Ree(f)$ et $\Imm(f)$ le sont, et l’on pose alors $\ f'=\bigl(\Ree f\bigr)'+i\bigl(\Imm f\bigr)'$.

Propriété. Pour $f,g:I\to\C$ dérivables et $(\lambda,\mu)\in\C^{2}$ : $\ (\lambda f+\mu g)'=\lambda f'+\mu g'$, $\ (fg)'=f'g+fg'$, $\ \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$ là où $g$ ne s’annule pas ; en particulier $\Ree\left(f'\right)=\left(\Ree f\right)'$ et $\Imm\left(f'\right)=\left(\Imm f\right)'$.

Théorème — dérivée de $\exp\circ\,\varphi$. Soit $\varphi:I\to\C$ dérivable. Alors $t\mapsto\e^{\varphi(t)}$ est dérivable sur $I$ et $\ \boxed{\left(\e^{\varphi}\right)'=\varphi'\,\e^{\varphi}}$ ; en particulier $\left(t\mapsto\e^{\lambda t}\right)'=\lambda\,\e^{\lambda t}$ pour $\lambda\in\C$.

Méthode — dériver $t\mapsto\e^{at}\cos(bt)$. écrire $\e^{at}\cos(bt)=\Ree\left(\e^{(a+ib)t}\right)$, dériver l’exponentielle complexe ($n$ fois si besoin : on obtient $(a+ib)^{n}\e^{(a+ib)t}$), puis reprendre la partie réelle. En notant $a+ib=\rho\,\e^{i\theta}$ avec $\rho>0$, cela donne $\frac{\dd^{n}}{\dd t^{n}}\bigl(\e^{at}\cos(bt)\bigr)=\rho^{n}\,\e^{at}\cos(bt+n\theta)$.