Intégration

1Continuité uniforme et théorème de Heine

Dans toute la fiche, $K$ désigne $\R$ ou $\C$ ; les fonctions sont définies sur un intervalle de $\R$, à valeurs dans $K$.

Définition. Soit $f$ définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est uniformément continue sur $I$ lorsque

Remarque. Dans la continuité en tout point, « $\forall x\in I,\ \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall y\in I$ », le $\delta$ dépend de $x$ ; dans la continuité uniforme, le même $\delta$ convient pour tous les points de $I$ : le quantificateur $\forall x$ est passé après $\exists\delta$. Donc : uniformément continue $\Rightarrow$ continue, et la réciproque est fausse.

Propriété — cas lipschitzien. Si $f$ est lipschitzienne sur $I$, c’est-à-dire s’il existe $k\ge0$ tel que $\abs{f(x)-f(y)}\le k\abs{x-y}$ pour tous $x,y\in I$, alors $f$ est uniformément continue sur $I$ ($\delta=\frac{\varepsilon}{k+1}$ convient). En particulier, si $f$ est de classe $C^{1}$ sur un segment, elle est lipschitzienne de rapport $k=\sup\abs{f'}$ (inégalité des accroissements finis).

Théorème — théorème de Heine. Toute fonction continue sur un segment $\intff{a}{b}$ y est uniformément continue. (Démonstration non exigible : par l’absurde, à l’aide du théorème de Bolzano-Weierstrass.)

2Subdivisions, fonctions en escalier, fonctions continues par morceaux

Définition. Une subdivision de $\intff{a}{b}$ est une famille finie $\sigma=(a_{0},\dots,a_{n})$ telle que $a=a_{0}<a_{1}<\dots<a_{n}=b$ ; son pas est $\max_{i\in\intent{1}{n}}(a_{i}-a_{i-1})$. Elle est régulière lorsque $a_{i}=a+i\frac{b-a}{n}$, son pas valant alors $\frac{b-a}{n}$.

Définition. $\varphi:\intff{a}{b}\to K$ est en escalier s’il existe une subdivision $(a_{0},\dots,a_{n})$ de $\intff{a}{b}$ et des scalaires $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$ tels que $\varphi$ soit constante égale à $\lambda_{i}$ sur chaque intervalle ouvert $\intoo{a_{i-1}}{a_{i}}$ (les valeurs aux points $a_{i}$ sont quelconques). Une telle subdivision est dite adaptée à $\varphi$.

Définition. $f:\intff{a}{b}\to K$ est continue par morceaux s’il existe une subdivision $(a_{0},\dots,a_{n})$ de $\intff{a}{b}$ telle que, pour tout $i\in\intent{1}{n}$, la restriction de $f$ à $\intoo{a_{i-1}}{a_{i}}$ soit continue et admette une limite finie à droite en $a_{i-1}$ et à gauche en $a_{i}$.

Propriété. Les fonctions continues et les fonctions en escalier sur $\intff{a}{b}$ sont continues par morceaux, et une fonction continue par morceaux est bornée. L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur $\intff{a}{b}$ est stable par $+$, par $\lambda\cdot$ ($\lambda\in K$), par produit, par $f\mapsto\abs{f}$ et par restriction à un sous-segment.

3Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment

Théorème — existence, construction admise. À toute $f$ continue par morceaux sur $\intff{a}{b}$ à valeurs dans $K$ on associe un unique scalaire $\int_{\intff{a}{b}}f=\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{b}f(t)\dd t$, égal à $\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}(a_{i}-a_{i-1})$ lorsque $f$ est en escalier de valeurs $\lambda_{i}$ sur les $\intoo{a_{i-1}}{a_{i}}$, et possédant les propriétés ci-dessous. Le programme n’impose aucune construction particulière : on admet ce théorème.

Notation. La variable $t$ est muette ; deux fonctions continues par morceaux qui ne diffèrent qu’en un nombre fini de points ont la même intégrale. Lorsque $f$ est réelle positive, $\int_{a}^{b}f$ est l’aire du domaine $\ens{(x,y),\ a\le x\le b,\ 0\le y\le f(x)}$ ; en général c’est une aire algébrique (comptée négativement sous l’axe).

Définition — extension aux bornes dans n’importe quel ordre. Pour $f$ continue par morceaux sur un segment contenant $a$ et $b$, on pose $\int_{a}^{a}f=0$ et $\int_{b}^{a}f=-\int_{a}^{b}f$. Avec cette convention, la linéarité et la relation de Chasles restent valables sans condition d’ordre sur les bornes.

Propriété — propriétés fondamentales. Soient $f,g$ continues par morceaux sur $\intff{a}{b}$ et $(\lambda,\mu)\in K^{2}$.

Idées de preuve (exigibles). Linéarité et positivité s’obtiennent sur les fonctions en escalier (tout y est une somme finie) puis passent à la limite dans la construction ; la croissance est la positivité appliquée à $g-f\ge0$. L’inégalité triangulaire pour $K=\R$ vient de $-\abs{f}\le f\le\abs{f}$ et de la croissance ; pour $K=\C$, on écrit $\int_{a}^{b}f=r\e^{i\theta}$ avec $r\ge0$, puis $r=\Ree\!\left(\e^{-i\theta}\int_{a}^{b}f\right)=\int_{a}^{b}\Ree\!\left(\e^{-i\theta}f\right)\le\int_{a}^{b}\abs{f}$ car $\Ree(z)\le\abs{z}$.

Théorème — fonction continue positive d’intégrale nulle. Soit $f$ continue sur $\intff{a}{b}$ ($a<b$), à valeurs réelles positives. Si $\int_{a}^{b}f=0$, alors $f$ est nulle sur $\intff{a}{b}$.

Idée de preuve (exigible). Par contraposée : si $f(x_{0})>0$ pour un $x_{0}$, la continuité en $x_{0}$ fournit un segment $\intff{\alpha}{\beta}\subset\intff{a}{b}$ de longueur $\ell>0$ sur lequel $f\ge\frac{f(x_{0})}{2}$ ; par Chasles et positivité, $\int_{a}^{b}f\ge\int_{\alpha}^{\beta}f\ge\frac{f(x_{0})}{2}\,\ell>0$.

Propriété — conséquences utiles. Soit $f$ continue par morceaux sur $\intff{a}{b}$ avec $a<b$.

• Valeur moyenne de $f$ sur $\intff{a}{b}$ : $\ \displaystyle\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)\dd t$.
• Inégalité de la moyenne : si $f$ est réelle et $m\le f\le M$ sur $\intff{a}{b}$, alors $m(b-a)\le\int_{a}^{b}f\le M(b-a)$ ; et dans tous les cas $\left|\int_{a}^{b}f\right|\le(b-a)\sup_{\intff{a}{b}}\abs{f}$. (Conséquences immédiates de la croissance et de l’inégalité triangulaire, et non des résultats nommés par le programme : on les redémontre en une ligne.)
• Parité : si $f$ est continue par morceaux sur $\intff{-a}{a}$ ($a>0$), $\int_{-a}^{a}f=2\int_{0}^{a}f$ si $f$ est paire, $\int_{-a}^{a}f=0$ si $f$ est impaire. Périodicité : si $f$ est continue par morceaux sur $\R$ et $T$-périodique ($T>0$), $x\mapsto\int_{x}^{x+T}f$ est constante, égale à $\int_{0}^{T}f$.

4Sommes de Riemann

Méthode — reconnaître une somme de Riemann. pour calculer $\lim\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}g\!\left(\frac{k}{n}\right)$, on l’écrit comme somme de Riemann de $g$ sur $\intff{0}{1}$ : la limite est $\int_{0}^{1}g$. Le repère : un facteur $\frac1n$ devant la somme et une dépendance en $k$ uniquement par $\frac{k}{n}$. Ainsi $\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\to\int_{0}^{1}\frac{\dd x}{1+x}=\ln2$.

Remarque — rectangles et trapèzes. Pour $f$ de classe $C^{1}$ l’erreur des rectangles est en $O\!\left(\frac1n\right)$ ; pour $f$ de classe $C^{2}$ celle des trapèzes $T_{n}=\frac{b-a}{n}\left(\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{k=1}^{n-1}f(x_{k})\right)$ est en $O\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)$ : les trapèzes sont nettement plus performants. Si $f$ est de plus convexe, $T_{n}$ majore l’intégrale et la somme des milieux la minore.

5Lien entre intégrale et primitive

Théorème — théorème fondamental. Soient $I$ un intervalle, $f$ continue sur $I$ à valeurs dans $K$ et $a\in I$. Alors la fonction

est de classe $C^{1}$ sur $I$ et $F'=f$. En particulier, toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives, et $F$ est l’unique primitive de $f$ sur $I$ qui s’annule en $a$.

Idée de preuve (exigible). Pour $x\ne x_{0}$, $\frac{F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}-f(x_{0})=\frac{1}{x-x_{0}}\int_{x_{0}}^{x}\bigl(f(t)-f(x_{0})\bigr)\dd t$ (Chasles) ; la continuité de $f$ en $x_{0}$ majore l’intégrande par $\varepsilon$ au voisinage de $x_{0}$, donc le quotient par $\varepsilon$ : la dérivée vaut $f(x_{0})$.

Propriété — corollaire de calcul. Si $f$ est continue sur $I$ et si $G$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors pour tous $a,b\in I$ : $\ \displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\dd t=\bigl[G(t)\bigr]_{a}^{b}=G(b)-G(a)$.

Propriété — composition. Si $f$ est continue sur $I$ et $u,v$ dérivables sur $J$ à valeurs dans $I$, alors $H:x\mapsto\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\dd t$ est dérivable et $H'(x)=v'(x)f\bigl(v(x)\bigr)-u'(x)f\bigl(u(x)\bigr)$ (écrire $H=F\circ v-F\circ u$). Attention : si $f$ est seulement continue par morceaux, $F:x\mapsto\int_{a}^{x}f$ reste continue (et lipschitzienne) mais pas nécessairement dérivable aux discontinuités de $f$ — pour $f=\lfloor\cdot\rfloor$, $F$ n’est pas dérivable en $1$.

Théorème — intégration par parties. Si $u$ et $v$ sont de classe $C^{1}$ sur un segment $\intff{a}{b}$, à valeurs dans $K$, alors

Théorème — changement de variable. Si $\varphi$ est de classe $C^{1}$ sur $\intff{\alpha}{\beta}$ et si $f$ est continue sur un intervalle contenant $\varphi\bigl(\intff{\alpha}{\beta}\bigr)$, alors

Aucune monotonie n’est requise dans ce sens. En revanche, pour calculer $\int_{a}^{b}f$ en posant $x=\varphi(t)$, il faut résoudre $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$ : on prend $\varphi$ de classe $C^{1}$ et strictement monotone. En pratique on écrit $x=\varphi(t)$, $\dd x=\varphi'(t)\dd t$ et le tableau des bornes — les oublier est l’erreur la plus fréquente.

6Formules de Taylor globales

Théorème — formule de Taylor avec reste intégral. Soient $I$ un intervalle, $n\in\N$ et $f$ de classe $C^{n+1}$ sur $I$ à valeurs dans $K$. Alors, pour tous $a,x\in I$,

Idée de preuve (exigible). Récurrence sur $n$ ; pour $n=0$, $\int_{a}^{x}f'=f(x)-f(a)$. Hérédité : dans $R_{n}(x)$ on intègre par parties en primitivant $t\mapsto\frac{(x-t)^{n}}{n!}$ en $t\mapsto-\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}$ et en dérivant $f^{(n+1)}$ ; le crochet donne $\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ et l’intégrale restante est $R_{n+1}(x)$.

Théorème — inégalité de Taylor-Lagrange. Soient $f$ de classe $C^{n+1}$ sur un intervalle $I$ et $a,x\in I$. Si $M_{n+1}$ majore $\abs{f^{(n+1)}}$ sur le segment d’extrémités $a$ et $x$, alors

Idée de preuve (exigible). On majore le reste intégral : pour $x\ge a$, $\abs{R_{n}(x)}\le\int_{a}^{x}\frac{(x-t)^{n}}{n!}\abs{f^{(n+1)}(t)}\dd t\le M_{n+1}\int_{a}^{x}\frac{(x-t)^{n}}{n!}\dd t=M_{n+1}\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}$ ; si $x\le a$, on échange les bornes.