Structures algébriques usuelles

1Lois de composition interne

Définition. Soit $E$ un ensemble. Une loi de composition interne sur $E$ est une application $\star:E\times E\to E$ ; on note $x\star y$ l’image du couple $(x,y)$. Le fait que $x\star y$ appartienne à $E$ fait partie de la définition : on dit que $E$ est stable pour $\star$.

Définition. Soit $\star$ une loi sur $E$. On dit que $\star$ est

• associative si $\ \forall (x,y,z)\in E^{3},\ (x\star y)\star z=x\star(y\star z)$ ;
• commutative si $\ \forall (x,y)\in E^{2},\ x\star y=y\star x$.

Un élément $e\in E$ est neutre pour $\star$ si $\ \forall x\in E,\ x\star e=e\star x=x$. Si $\star$ admet un neutre, celui-ci est unique.

Idée de preuve (unicité du neutre). Si $e$ et $e'$ sont neutres, $e\star e'$ vaut $e$ (car $e'$ est neutre) et $e'$ (car $e$ est neutre), donc $e=e'$.

Définition. Soit $\star$ une loi associative sur $E$, de neutre $e$. Un élément $x\in E$ est inversible (ou symétrisable) s’il existe $y\in E$ tel que $x\star y=y\star x=e$. Un tel $y$ est alors unique, appelé symétrique (ou inverse) de $x$ ; on le note $x^{-1}$ en notation multiplicative, $-x$ en notation additive.

Idée de preuve (unicité du symétrique). Si $y$ et $y'$ conviennent, $y=y\star e=y\star(x\star y')=(y\star x)\star y'=e\star y'=y'$ : c’est l’associativité qui donne l’unicité.

Propriété — inverse d’un produit. Si $x$ et $y$ sont inversibles pour une loi associative, alors $x\star y$ l’est, $\left(x^{-1}\right)^{-1}=x$ et $\ \boxed{(x\star y)^{-1}=y^{-1}\star x^{-1}}\$ (attention à l’ordre), car $(x\star y)\star\left(y^{-1}\star x^{-1}\right)=x\star\left(y\star y^{-1}\right)\star x^{-1}=e$, et de même de l’autre côté.

Définition. Soient $+$ et $\times$ deux lois sur $E$. On dit que $\times$ est distributive sur $+$ si, pour tous $x,y,z\in E$, $\ x(y+z)=xy+xz$ et $(y+z)x=yx+zx$ : les deux égalités sont à exiger tant que $\times$ n’est pas supposée commutative.

Définition. Une partie $F\subset E$ est stable pour $\star$ si $\ \forall(x,y)\in F^{2},\ x\star y\in F$. La loi $\star$ induit alors une loi sur $F$, appelée loi induite ; elle hérite automatiquement de l’associativité et de la commutativité, mais pas du neutre ni de l’inversibilité.

Notation — table de composition. Pour une loi sur un ensemble fini, la case (ligne $x$, colonne $y$) de la table contient $x\star y$. On y lit la commutativité (symétrie par rapport à la diagonale), le neutre (une ligne et une colonne recopiant les en-têtes) et les inverses (la présence de $e$) ; l’associativité, elle, ne se lit pas sur la table.

2Groupes

Définition. Un groupe est un couple $(G,\star)$ où $\star$ est une loi de composition interne sur $G$ telle que (i) $\star$ est associative ; (ii) $\star$ admet un élément neutre $e$ ; (iii) tout élément de $G$ est inversible pour $\star$. Si de plus $\star$ est commutative, le groupe est dit abélien (ou commutatif). Un groupe est toujours non vide, puisqu’il contient $e$.

Notation — puissances. En notation multiplicative, $x^{0}=e$, $x^{n+1}=x^{n}x$ ($n\in\N$) et $x^{-n}=\left(x^{n}\right)^{-1}=\left(x^{-1}\right)^{n}$ ; alors, pour $m,n\in\Z$, $\ x^{m+n}=x^{m}x^{n}$, $\ \left(x^{m}\right)^{n}=x^{mn}$, et $(xy)^{n}=x^{n}y^{n}$ seulement si $xy=yx$. En notation additive : $(m+n)x=mx+nx$, $n(mx)=(nm)x$, $n(x+y)=nx+ny$.

Propriété — régularité. Dans un groupe, tout élément $a$ est régulier : $ax=ay\implies x=y$ et $xa=ya\implies x=y$ (multiplier par $a^{-1}$ du bon côté) ; l’équation $ax=b$ a l’unique solution $x=a^{-1}b$.

Propriété — exemples usuels — à connaître.

3Sous-groupes

Définition. Soit $(G,\star)$ un groupe. Une partie $H\subset G$ est un sous-groupe de $G$ si $H$ est stable pour $\star$ et si $(H,\star)$ est lui-même un groupe (pour la loi induite).

Théorème — caractérisation d’un sous-groupe — démonstration exigible. Soit $H\subset G$. Alors $H$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si

Ces trois conditions se condensent en : $\ e\in H$ et $\forall (x,y)\in H^{2},\ x\star y^{-1}\in H$.

Idée de preuve. La condition (2) donne la loi induite, (3) les inverses ; (1) et (3) donnent $e=x\star x^{-1}\in H$, et l’associativité est héritée. Le neutre de $H$ est nécessairement celui de $G$ : si $e_{H}\star e_{H}=e_{H}$, la régularité dans $G$ donne $e_{H}=e$.

Propriété. Les sous-groupes $\ens{e}$ et $G$ sont dits triviaux. Une intersection de sous-groupes de $G$ est un sous-groupe de $G$ ; une réunion, en général, n’en est pas un.

Théorème — les sous-groupes de $(\Z,+)$ — démonstration exigible. Les sous-groupes de $(\Z,+)$ sont exactement les ensembles

et l’entier $n\in\N$ est déterminé de façon unique par le sous-groupe.

Idée de preuve. Chaque $n\Z$ est un sous-groupe. Réciproquement, soit $H$ un sous-groupe. Si $H=\ens{0}$, alors $H=0\Z$. Sinon $H$ contient un élément non nul, donc, par passage à l’opposé, un élément de $\N^{*}$ : la partie non vide $H\cap\N^{*}$ de $\N$ admet un plus petit élément $n$, et $n\Z\subset H$ par stabilité. Inversement, pour $x\in H$, la division euclidienne $x=nq+r$ ($0\leq r<n$) donne $r=x-nq\in H$ ; si $r>0$, cela contredit la minimalité de $n$ : donc $r=0$ et $x\in n\Z$. L’unicité vient de $n\Z=m\Z\implies n\mid m$ et $m\mid n$.

Remarque. C’est, dans le langage des groupes, le raisonnement par division euclidienne du chapitre 11 (Bézout par le plus petit élément positif de $a\Z+b\Z$). On en déduit $a\Z+b\Z=(a\wedge b)\Z$ et $a\Z\cap b\Z=(a\vee b)\Z$.

4Morphismes de groupes

Définition. Soient $(G,\star)$ et $(H,\ast)$ deux groupes. Une application $f:G\to H$ est un morphisme de groupes si

Un morphisme bijectif est un isomorphisme ; deux groupes sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de l’un sur l’autre. Un morphisme de $G$ dans $G$ est un endomorphisme, un isomorphisme de $G$ sur $G$ un automorphisme.

Propriété. Soit $f:G\to H$ un morphisme de groupes. Alors

La composée de deux morphismes est un morphisme ; la bijection réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme.

Idée de preuve. $f(e)=f(e\star e)=f(e)\ast f(e)$, et la régularité dans $H$ donne $f(e)=e_{H}$ ; puis $f(x)\ast f\left(x^{-1}\right)=f\left(x\star x^{-1}\right)=e_{H}$.

Théorème — image, image réciproque. Soit $f:G\to H$ un morphisme.

• Si $K$ est un sous-groupe de $G$, alors $f(K)$ est un sous-groupe de $H$ ; en particulier $\operatorname{Im} f=f(G)$ est un sous-groupe de $H$.
• Si $L$ est un sous-groupe de $H$, alors $f^{-1}(L)$ est un sous-groupe de $G$ ; en particulier $\operatorname{Ker} f=f^{-1}\bigl(\ens{e_{H}}\bigr)=\ens{x\in G,\ f(x)=e_{H}}$ est un sous-groupe de $G$.

Idée de preuve (exigible pour $\operatorname{Ker}$ et $\operatorname{Im}$). $e_{G}\in\operatorname{Ker} f$ car $f(e_{G})=e_{H}$ ; si $x,y\in\operatorname{Ker} f$, $f\left(x\star y^{-1}\right)=f(x)\ast f(y)^{-1}=e_{H}$, donc $x\star y^{-1}\in\operatorname{Ker} f$. Pour $\operatorname{Im} f$ : $e_{H}=f(e_{G})\in\operatorname{Im} f$, et $f(x)\ast f(y)^{-1}=f\left(x\star y^{-1}\right)\in\operatorname{Im} f$.

Théorème — critère d’injectivité — démonstration exigible. Un morphisme de groupes $f:G\to H$ est injectif si et seulement si $\ \operatorname{Ker} f=\ens{e_{G}}$. Il est surjectif si et seulement si $\operatorname{Im} f=H$.

Idée de preuve. Si $f$ est injective et $x\in\operatorname{Ker} f$, alors $f(x)=e_{H}=f(e_{G})$ donne $x=e_{G}$. Réciproquement, si $\operatorname{Ker} f=\ens{e_{G}}$ et $f(x)=f(y)$, alors $f\left(x\star y^{-1}\right)=e_{H}$, donc $x\star y^{-1}=e_{G}$, soit $x=y$.

Propriété — morphismes usuels — à connaître.

Remarque — hors programme — pour aller plus loin. L’entier $n$ tel que $\operatorname{Ker}\varphi_{x}=n\Z$ s’appelle l’ordre de $x$, et $\operatorname{Im}\varphi_{x}$ le sous-groupe engendré par $x$ : ces notions, comme les groupes monogènes et cycliques, ne sont pas au programme de MPSI (voir la feuille d’approfondissement).

5Anneaux

Définition. Un anneau est un triplet $(A,+,\times)$ où

• $(A,+)$ est un groupe abélien, de neutre noté $0_{A}$ ;
• $\times$ est associative, admet un élément neutre noté $1_{A}$, et est distributive sur $+$.

Dans ce programme, tout anneau est unitaire : l’existence de $1_{A}$ fait partie de la définition. L’anneau est commutatif si $\times$ l’est. L’anneau nul est $\ens{0}$, le seul où $1_{A}=0_{A}$.

Propriété — règles de calcul. Dans un anneau $A$, pour tous $a,b\in A$ et $n\in\N$ :

Idée de preuve de $0\times a=0$. $0a=(0+0)a=0a+0a$, et l’on simplifie dans le groupe $(A,+)$.

Définition. Un élément $a\in A$ est inversible (on dit aussi : est une unité) s’il existe $b\in A$ tel que $ab=ba=1$. L’ensemble des inversibles de $A$ est noté $A^{\times}$ (ou $\mathcal{U}(A)$).

Théorème. $\left(A^{\times},\times\right)$ est un groupe, appelé groupe des inversibles de $A$. Ce n’est presque jamais un sous-anneau de $A$ (il ne contient pas $0$).

Définition. Soit $A$ un anneau. Un élément $a\in A$ est un diviseur de zéro s’il est non nul et s’il existe $b\neq0$ tel que $ab=0$ ou $ba=0$. L’anneau $A$ est intègre s’il est commutatif, non nul, et sans diviseur de zéro :

Propriété. Dans un anneau intègre, tout élément non nul est régulier ($ab=ac$ et $a\neq0$ entraînent $b=c$) ; un inversible n’est jamais diviseur de zéro.

Définition. Une partie $B\subset A$ est un sous-anneau de $A$ si $B$ est un sous-groupe de $(A,+)$, stable pour $\times$, et contient $1_{A}$.

Théorème — caractérisation. $B\subset A$ est un sous-anneau de $A$ si et seulement si $\ 1_{A}\in B$ et $\forall (x,y)\in B^{2},\ x-y\in B$ et $xy\in B$.

Définition. Soient $A$ et $B$ deux anneaux. Une application $f:A\to B$ est un morphisme d’anneaux si, pour tous $x,y\in A$, $\ f(x+y)=f(x)+f(y)$, $\ f(xy)=f(x)f(y)$ et $\boxed{f(1_{A})=1_{B}}$. Un morphisme bijectif est un isomorphisme. L’image d’un morphisme d’anneaux est un sous-anneau de $B$, et $f$ envoie un inversible sur un inversible, avec $f\left(a^{-1}\right)=f(a)^{-1}$.

Propriété — exemples usuels.

6Corps

Définition. Un corps est un anneau commutatif $\mathbb{K}$ tel que $1_{\mathbb{K}}\neq0_{\mathbb{K}}$ et dont tout élément non nul est inversible, c’est-à-dire $\mathbb{K}^{\times}=\mathbb{K}\setminus\ens{0}$. Dans ce programme, les corps sont commutatifs.

Propriété. Tout corps est intègre : si $ab=0$ avec $a\neq0$, alors $b=a^{-1}(ab)=a^{-1}\times0=0$. Un sous-corps de $\mathbb{K}$ est un sous-anneau $L$ de $\mathbb{K}$ tel que tout élément non nul de $L$ ait son inverse dans $L$.

Propriété — exemples. $\Q$, $\R$, $\C$ sont des corps, et $\Q$ est un sous-corps de $\R$, lui-même sous-corps de $\C$ ; $\Z$ n’est pas un corps ($2$ n’y est pas inversible), ni $\R^{\R}$. Enfin $\Q\left[\sqrt{2}\right]=\ens{a+b\sqrt{2},\ (a,b)\in\Q^{2}}$ est un sous-corps de $\R$, avec $\frac{1}{a+b\sqrt{2}}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^{2}-2b^{2}}$.