Inégalités et trigonométrie

1L’ordre sur $\R$ et les inégalités

Définition. On munit $\R$ de la relation $\leq$ définie par $\ x\leq y\iff y-x\in\R_{+}$ : c’est une relation d’ordre total (réflexive, antisymétrique, transitive, et deux réels sont toujours comparables).

Propriété — compatibilité avec les opérations. Soient $x,y,z,t$ des réels et $\lambda\in\R$.

• $x\leq y\iff x+z\leq y+z$ : on peut toujours ajouter un réel aux deux membres ;
• si $\lambda\geq0$ : $x\leq y\Longrightarrow \lambda x\leq\lambda y$ ; si $\lambda\leq0$ : $x\leq y\Longrightarrow \lambda x\geq\lambda y$ (l’inégalité change de sens) ;
• $x\leq y$ et $z\leq t$ $\Longrightarrow$ $x+z\leq y+t$ : on additionne deux inégalités de même sens ; mais $0\leq x\leq y$ et $0\leq z\leq t$ $\Longrightarrow$ $xz\leq yt$ : on ne les multiplie qu’entre réels positifs ;
• si $x$ et $y$ sont de même signe et non nuls : $x\leq y\iff \dfrac{1}{y}\leq\dfrac{1}{x}$ ; et pour $x,y\geq0$ : $x\leq y\iff x^{2}\leq y^{2}\iff\sqrt{x}\leq\sqrt{y}\iff x^{n}\leq y^{n}$ ($n\in\N^{*}$).

Notation — intervalles. Pour $a\leq b$ : $\intff{a}{b}$, $\intfo{a}{b}$, $\intof{a}{b}$, $\intoo{a}{b}$, et les intervalles non bornés $\intfo{a}{+\infty}$, $\intoo{-\infty}{b}$… On note $\R_{+}=\intfo{0}{+\infty}$, $\R_{+}^{*}=\intoo{0}{+\infty}$, et $\intent{a}{b}=\intff{a}{b}\cap\Z$ pour $a,b\in\Z$. Une partie $I$ de $\R$ est un intervalle si et seulement si $\ \forall (x,y)\in I^{2},\ x\leq y\Longrightarrow\intff{x}{y}\subset I$.

Méthode — résoudre une inéquation. tout ramener à la forme $A(x)\leq0$ (ou $<0$), factoriser, puis dresser un tableau de signes sur le domaine de définition. Pour une inéquation avec dénominateur, on ne multiplie pas par ce dénominateur : on réduit au même dénominateur et on étudie le signe du quotient.

Propriété — majorations et minorations. Si $a\leq x\leq b$ et $c\leq y\leq d$ : $\ a+c\leq x+y\leq b+d$ et $a-d\leq x-y\leq b-c$ (on encadre $-y$ avant d’ajouter). Pour un quotient, si de plus $0\leq a$ et $0<c$ : $\ \frac{a}{d}\leq\frac{x}{y}\leq\frac{b}{c}$.

2Valeur absolue et inégalité triangulaire

Définition. Pour $x\in\R$, $\ \abs{x}=\max(x,-x)=\begin{cases}x&\text{si }x\geq0\\-x&\text{si }x\leq0\end{cases}$, et $\ \abs{x}=\sqrt{x^{2}}$. Le réel $\abs{x-y}$ est la distance de $x$ à $y$.

Propriété. Pour $x,y\in\R$ et $n\in\N$ : $\ \abs{x}\geq0$ ; $\ \abs{x}=0\iff x=0$ ; $\ \abs{xy}=\abs{x}\abs{y}$ ; $\ \left|\frac{x}{y}\right|=\frac{\abs{x}}{\abs{y}}$ ($y\neq0$) ; $\ \abs{x^{n}}=\abs{x}^{n}$ ; $\ -\abs{x}\leq x\leq\abs{x}$.

Propriété — lecture sur la droite réelle. Soient $a\in\R$ et $b\geq0$. Alors

c’est-à-dire : les réels dont la distance à $a$ est au plus $b$ sont ceux de l’intervalle de centre $a$ et de rayon $b$.

Théorème — inégalité triangulaire. Pour tous $x,y\in\R$ :

On en déduit $\ \bigl|\,\abs{x}-\abs{y}\,\bigr|\leq\abs{x-y}\leq\abs{x}+\abs{y}$ et, par récurrence, $\ \displaystyle\left|\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right|\leq\sum_{k=1}^{n}\abs{x_{k}}$.

Idée de preuve (exigible). $\abs{x+y}^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\leq\bigl(\abs{x}+\abs{y}\bigr)^{2}$ car $xy\leq\abs{xy}=\abs{x}\abs{y}$ ; les deux membres étant positifs, on conclut par croissance de $t\mapsto t^{2}$ sur $\R_{+}$, l’égalité imposant $xy=\abs{xy}$. Pour la variante : $\abs{x}=\abs{(x-y)+y}\leq\abs{x-y}+\abs{y}$, puis on échange $x$ et $y$.

Méthode — maximum et minimum de deux réels. $\ \max(x,y)=\dfrac{x+y+\abs{x-y}}{2}$ et $\min(x,y)=\dfrac{x+y-\abs{x-y}}{2}$ : une valeur absolue permet de se débarrasser d’une disjonction de cas.

3Parties majorées, minorées, bornées ; partie entière

Définition. Soit $A\subset\R$. Un réel $M$ est un majorant de $A$ si $\ \forall x\in A,\ x\leq M$ ; un réel $m$ est un minorant si $\ \forall x\in A,\ m\leq x$. La partie $A$ est majorée (resp. minorée) si elle admet un majorant (resp. un minorant), et bornée si elle est les deux ; $A$ est bornée si et seulement si $\ \exists M\in\R_{+},\ \forall x\in A,\ \abs{x}\leq M$. Enfin $\alpha$ est le maximum de $A$, noté $\max A$, si $\alpha\in A$ et $\alpha$ majore $A$ (définition analogue pour $\min A$) ; lorsqu’il existe, il est unique par antisymétrie de $\leq$.

Théorème — partie entière. Pour tout $x\in\R$, il existe un unique $n\in\Z$ tel que $\ n\leq x<n+1$. Cet entier est la partie entière de $x$, notée $\left\lfloor x\right\rfloor$.

Idée de preuve. Pour $x\geq0$, la partie $\ens{k\in\N,\ k>x}$ de $\N$ est non vide ($\N$ n’est pas majoré) : elle admet un plus petit élément $p$ (chapitre 1) et $n=p-1$ convient. L’unicité vient de ce que deux entiers distincts diffèrent d’au moins $1$ ; le cas $x<0$ s’en déduit.

Propriété — caractérisation et règles de calcul. Soient $x\in\R$ et $n\in\Z$.

• $\boxed{n=\left\lfloor x\right\rfloor\iff n\leq x<n+1\iff x-1<n\leq x}$ : pour identifier une partie entière, on encadre ;
• $\left\lfloor x\right\rfloor\leq x<\left\lfloor x\right\rfloor+1$, $x-1<\left\lfloor x\right\rfloor\leq x$, $0\leq x-\left\lfloor x\right\rfloor<1$ (partie fractionnaire) ;
• $\left\lfloor x+n\right\rfloor=\left\lfloor x\right\rfloor+n$ pour $n\in\Z$ ; $\left\lfloor x\right\rfloor=x\iff x\in\Z$ ; $x\mapsto\left\lfloor x\right\rfloor$ est croissante ;
• pour $d\in\N^{*}$ et $n\in\N$, le nombre de multiples de $d$ appartenant à $\intent{1}{n}$ est $\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor$.

4Le cercle trigonométrique

Propriété — angles associés. Pour tout $x\in\R$ : $\ \cos(-x)=\cos x$, $\ \cos(\pi-x)=\cos(\pi+x)=-\cos x$, $\ \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$, $\ \cos\!\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x$, $\ \sin(-x)=\sin(\pi+x)=-\sin x$, $\ \sin(\pi-x)=\sin x$, $\ \sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$, $\ \sin\!\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$. On les retrouve sur le cercle par symétrie, jamais par cœur.

5Formules d’addition, de duplication, linéarisation

Théorème — formules d’addition et de duplication. Pour tous $a,b\in\R$ :

Justification géométrique de $\cos(a-b)$ (exigible). Les vecteurs $\vv{w_{1}}=\left(\cos a,\sin a\right)$ et $\vv{w_{2}}=\left(\cos b,\sin b\right)$ sont unitaires et l’angle orienté de $\vv{w_{2}}$ vers $\vv{w_{1}}$ vaut $a-b$ : le produit scalaire, calculé en coordonnées puis sous sa forme $\norme{\vv{w_{1}}}\norme{\vv{w_{2}}}\cos(a-b)$, donne $\cos a\cos b+\sin a\sin b=\cos(a-b)$. Les trois autres s’en déduisent en changeant $b$ en $-b$ et en utilisant $\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$.

Propriété — linéarisation et factorisation. Pour tous $a,b,p,q\in\R$ :

Idée de preuve (exigible). Les trois premières s’obtiennent en ajoutant ou soustrayant les formules d’addition pour $a+b$ et $a-b$ ; les trois dernières en posant $a=\frac{p+q}{2}$ et $b=\frac{p-q}{2}$, de sorte que $p=a+b$ et $q=a-b$.

Théorème — transformation de $a\cos t+b\sin t$. Soit $(a,b)\in\R^{2}\setminus\ens{(0,0)}$ et $A=\sqrt{a^{2}+b^{2}}>0$. Comme $\left(\frac{a}{A}\right)^{2}+\left(\frac{b}{A}\right)^{2}=1$, il existe $\varphi\in\R$, unique modulo $2\pi$, tel que $\cos\varphi=\frac{a}{A}$ et $\sin\varphi=\frac{b}{A}$ ; alors

En particulier $a\cos t+b\sin t$ prend toutes les valeurs de $\intff{-A}{A}$ et aucune autre.

Théorème. $\ \forall x\in\R,\ \abs{\sin x}\leq\abs{x}$, avec égalité si et seulement si $x=0$ ; en particulier $0\leq\sin x\leq x$ pour $x\geq0$. Preuve admise à ce stade : pour $\abs{x}\leq\pi$ on compare, dans le cercle, la longueur de l’arc ($\abs{x}$) à celle de la corde ($2\abs{\sin\frac{x}{2}}$, donc $\abs{\sin x}\leq\abs{x}$) ; pour $\abs{x}>\pi$, $\abs{\sin x}\leq1<\pi<\abs{x}$.

6La fonction tangente

7Équations et inéquations trigonométriques

Théorème. Soient $x,a\in\R$. Alors

Méthode — résoudre une équation trigonométrique. se ramener à l’une des trois formes ci-dessus (en factorisant, en posant $X=\cos x$, ou par $a\cos t+b\sin t=A\cos(t-\varphi)$), puis écrire toutes les familles de solutions avec leur modulo ; pour restreindre à un intervalle, faire varier $k\in\Z$ et ne garder que les valeurs qui y tombent.

Méthode — exemple. $2\cos^{2}x-3\cos x+1=0$ : en posant $X=\cos x$, $2X^{2}-3X+1=0$ donne $X=1$ ou $X=\frac12$, d’où $x\equiv0\ [2\pi]$ ou $x\equiv\pm\frac{\pi}{3}\ [2\pi]$ ; une racine $X>1$ aurait été à rejeter car $\abs{\cos x}\leq1$.

Méthode — résoudre une inéquation trigonométrique. placer sur le cercle les solutions de l’équation associée, puis lire l’arc sur lequel l’inégalité est vraie ; on obtient un intervalle « modulo $2\pi$ », par exemple

8Petits systèmes linéaires et méthode du pivot

Définition. Un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues réelles ($n,p\in\ens{2,3}$) s’écrit $(S)$ : $\ \forall i\in\intent{1}{n}$, $\sum_{j=1}^{p}a_{i,j}x_{j}=b_{i}$. Le système est homogène si tous les $b_{i}$ sont nuls. Résoudre $(S)$, c’est décrire l’ensemble de ses solutions $(x_{1},\dots,x_{p})\in\R^{p}$.

Propriété — opérations élémentaires. Les trois opérations suivantes sur les lignes ne modifient pas l’ensemble des solutions :

Chacune est réversible, ce qui justifie l’équivalence des systèmes successifs : on écrit $\iff$ à chaque étape.

Méthode — algorithme du pivot. choisir dans la première colonne un coefficient non nul (le pivot), l’amener en première ligne par un échange, puis éliminer l’inconnue correspondante dans toutes les autres lignes par $L_{i}\leftarrow L_{i}+\lambda L_{1}$. Recommencer sur le système restant : on obtient un système échelonné, que l’on résout « en remontant ». Trois issues : une unique solution ; aucune solution (une ligne devient $0=c$ avec $c\neq0$) ; une infinité de solutions, décrites par un ou deux paramètres.

Remarque — interprétation géométrique. Dans $\R^{2}$, $ax+by=c$ (avec $(a,b)\neq(0,0)$) est une droite : deux droites sont sécantes (une solution), parallèles distinctes (aucune) ou confondues (une infinité). Dans $\R^{3}$, $ax+by+cz=d$ (avec $(a,b,c)\neq(0,0,0)$) est un plan : trois plans se coupent en un point, en une droite, en un plan, ou n’ont aucun point commun.