Fonctions sinus et cosinus : cours de Terminale et exercices

1Cercle trigonométrique et valeurs remarquables

Définition. Dans un repère orthonormé $(O\,;\vv{\imath},\vv{\jmath})$ , à tout réel $x$ on associe le point $M$ du cercle trigonométrique (centre $O$ , rayon $1$ , orienté dans le sens direct) tel que $x$ soit une mesure en radians de l’angle orienté $\bigl(\vv{\imath},\vect{OM}\bigr)$ . Les coordonnées de $M$ sont $(\cos x\,;\sin x)$ .

Propriété. Pour tout réel $x$ : $-1\leq\cos x\leq 1$ , $-1\leq\sin x\leq 1$ et $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ .

Formulairevaleurs remarquables et angles associés

$x$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$

$\cos(-x)=\cos x$ ; $\sin(-x)=-\sin x$ .
$\cos(\pi-x)=-\cos x$ ; $\sin(\pi-x)=\sin x$ .
$\cos(\pi+x)=-\cos x$ ; $\sin(\pi+x)=-\sin x$ .

2Parité, périodicité, variations

Propriété. La fonction $\cos$ est paire, la fonction $\sin$ est impaire, et toutes deux sont $2\pi$ -périodiques : pour tout réel $x$ , $\cos(x+2\pi)=\cos x$ et $\sin(x+2\pi)=\sin x$ .

Remarque. Conséquences graphiques : la courbe de $\cos$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, celle de $\sin$ par rapport à l’origine ; il suffit d’étudier ces fonctions sur $\intff{-\pi}{\pi}$ , puis de reproduire la courbe par les translations de vecteurs $2k\pi\,\vv{\imath}$ ( $k\in\Z$ ).

Propriété — variations sur $\intff{-\pi}{\pi}$ . $\cos$ est croissante sur $\intff{-\pi}{0}$ et décroissante sur $\intff{0}{\pi}$ . $\sin$ est décroissante sur $\intff{-\pi}{-\frac{\pi}{2}}$ , croissante sur $\intff{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ , puis décroissante sur $\intff{\frac{\pi}{2}}{\pi}$ .

Figure 1 — Les courbes de $\sin$ (trait plein) et de $\cos$ (pointillés) : deux sinusoïdes de période $2\pi$ et d’amplitude $1$ .

3Dérivées

Propriété. Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont dérivables sur $\R$ et $\sin'=\cos$ , $\cos'=-\sin$ . Pour tous réels $a$ et $b$ :

\bigl(\sin(ax+b)\bigr)'=a\cos(ax+b),\qquad \bigl(\cos(ax+b)\bigr)'=-a\sin(ax+b).

Remarque. On combine ces formules avec les règles du produit, du quotient et de la composée ; par exemple :

\left(\e^{\cos x}\right)'=-\sin x\,\e^{\cos x}\qquad\text{et}\qquad\left((\sin x)^{3}\right)'=3\cos x\,(\sin x)^{2}.

4Équations et inéquations

Propriété. Pour tous réels $x$ et $a$ (avec $k\in\Z$ ) :

\cos x=\cos a\ \ssi\ x=a+2k\pi \ \text{ ou } \ x=-a+2k\pi ;

\sin x=\sin a\ \ssi\ x=a+2k\pi \ \text{ ou } \ x=\pi-a+2k\pi .

Méthode — résoudre sur un intervalle. Écrire l’équation sous la forme $\cos x=\cos a$ (ou $\sin x=\sin a$ ) avec une valeur remarquable $a$ , placer les points solutions sur le cercle, puis ne retenir que les solutions qui appartiennent à l’intervalle demandé.

Méthode — équation en $ax+b$ . Poser $X=ax+b$ , préciser l’intervalle décrit par $X$ , résoudre en $X$ , puis revenir à $x$ .

Méthode — inéquation. Placer sur le cercle les solutions de l’équation associée, puis colorier l’arc qui convient : les points du cercle tels que $\cos x\leq a$ sont ceux situés sur ou à gauche de la droite verticale d’abscisse $a$ .

Figure 2 — Solutions de $\cos x\leq\frac12$ sur $\intff{-\pi}{\pi}$ : l’arc colorié, soit $\intff{-\pi}{-\frac{\pi}{3}}\cup\intff{\frac{\pi}{3}}{\pi}$ .

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Donner une valeur exacte de $\cos$ ou $\sin$ en utilisant parité, périodicité et angles associés.
Étudier la parité et la périodicité d’une fonction construite à partir de $\sin$ et $\cos$ .
Dériver $\sin(ax+b)$ , $\cos(ax+b)$ et des fonctions obtenues par produit, quotient ou composée.
Résoudre $\cos x=a$ et $\sin x=a$ dans $\R$ ou sur un intervalle, à l’aide du cercle trigonométrique.
Résoudre une inéquation du type $\cos x\leq a$ sur $\intff{-\pi}{\pi}$ .
Étudier les variations d’une fonction bâtie sur $\sin$ et $\cos$ et résoudre un problème d’optimisation.

6Exemples types

Exemplevaleur exacte

$\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$ . De même $\cos\!\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{3\pi}{4}=\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ .

Exempledérivée

$f(x)=x\cos(2x)$ sur $\R$ . C’est un produit : $f'(x)=1\times\cos(2x)+x\times\bigl(-2\sin(2x)\bigr)=\cos(2x)-2x\sin(2x)$ .

Exempleéquation sur un intervalle

Résoudre $\cos(2x)=\dfrac12$ sur $\intff{0}{\pi}$ . On pose $X=2x$ : quand $x$ décrit $\intff{0}{\pi}$ , $X$ décrit $\intff{0}{2\pi}$ . Or $\cos X=\cos\frac{\pi}{3}$ donne $X=\frac{\pi}{3}$ ou $X=-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}$ dans $\intff{0}{2\pi}$ . Donc $x=\frac{\pi}{6}$ ou $x=\frac{5\pi}{6}$ .

Exempleoptimisation

$f(x)=2\sin x-x$ sur $\intff{0}{\pi}$ . Alors $f'(x)=2\cos x-1$ , qui est strictement positive pour $\cos x>\frac12$ , c’est-à-dire sur $\intfo{0}{\frac{\pi}{3}}$ , nulle en $\frac{\pi}{3}$ et strictement négative sur $\intof{\frac{\pi}{3}}{\pi}$ . Le maximum est donc $f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3-\dfrac{\pi}{3}\approx 0{,}68$ .

Pièges

Travailler en radians : la calculatrice doit être en mode radian et $\cos'=-\sin$ n’est vraie qu’en radians.
Une équation trigonométrique a deux familles de solutions : ne pas oublier la seconde ( $-a$ pour $\cos$ , $\pi-a$ pour $\sin$ ), ni le $+2k\pi$ .
$\bigl(\cos(2x)\bigr)'=-2\sin(2x)$ : le facteur $a$ est indispensable.
Ne pas confondre $(\sin x)^{2}$ et $\sin\!\left(x^{2}\right)$ , ni $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ avec $\cos x+\sin x=1$ .
Après un changement de variable $X=ax+b$ , toujours redéfinir l’intervalle décrit par $X$ avant de résoudre.

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4Équations et inéquations

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Sujet type bac

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