Continuité

1Continuité d’une fonction

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a\in I$. La fonction $f$ est continue en $a$ lorsque $\lim\limits_{x\to a^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$ ; si $a$ est une extrémité de $I$, seule la limite prise du côté de $I$ intervient. Elle est continue sur $I$ lorsqu’elle est continue en tout point de $I$.

Remarque. Graphiquement, la courbe d’une fonction continue sur $I$ se trace «  sans lever le crayon  » sur $I$. Un saut (tarif par paliers, fonction partie entière $E$) signale une discontinuité.

Propriété. Les fonctions polynômes, la fonction racine carrée, la fonction valeur absolue, la fonction exponentielle, les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont continues sur tout intervalle où elles sont définies ; il en va de même de leurs sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées.

Propriété. Toute fonction dérivable sur $I$ est continue sur $I$. La réciproque est fausse : $x\mapsto\abs{x}$ est continue en $0$ mais n’y est pas dérivable (deux demi-tangentes distinctes).

2Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème — TVI. Si $f$ est continue sur $\intff{a}{b}$ et si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors l’équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $\intff{a}{b}$.

Théorème — corollaire. Si de plus $f$ est strictement monotone sur $\intff{a}{b}$, cette solution est unique. Le résultat s’étend à un intervalle ouvert ou non borné : à une borne exclue, on remplace la valeur de $f$ par sa limite, et $k$ doit être strictement compris entre ces limites (une limite n’est pas atteinte : $\e^{x}=0$ n’a pas de solution).

Remarque. Dans un tableau de variations, une flèche oblique signifie que $f$ est continue et strictement monotone sur l’intervalle : le corollaire s’applique directement sur chaque flèche.

Méthode — encadrer la solution $\alpha$. Balayage : calculer $f$ de $0{,}1$ en $0{,}1$ jusqu’au changement de signe, puis de $0{,}01$ en $0{,}01$, etc. Dichotomie : partir de $\intff{a}{b}$, calculer $f$ au milieu $m$, garder la moitié où $f$ change de signe ; après $n$ étapes, l’amplitude vaut $\dfrac{b-a}{2^{n}}$.

3Compter les solutions de $f(x)=k$

Méthode — lecture sur un tableau de variations. Sur chaque intervalle où $f$ est continue et strictement monotone (une flèche du tableau), comparer $k$ aux valeurs — ou aux limites — aux extrémités : si $k$ est strictement compris entre elles, l’équation $f(x)=k$ a exactement une solution à l’intérieur de la flèche ; sinon elle n’y en a aucune. On additionne sur toutes les flèches, puis on ajoute les valeurs $x$ du tableau où $f(x)=k$, chacune une seule fois (une extrémité commune à deux flèches ne compte pas double).

4Continuité et suites

Propriété. Si $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty}f(u_n)=f(\ell)$.

Théorème — point fixe. Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=f(u_n)$. Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$.

Méthode — déterminer la limite d’une suite $u_{n+1}=f(u_n)$. Établir d’abord la convergence (suite croissante et majorée, par exemple), puis résoudre l’équation $f(x)=x$ et retenir la solution compatible avec l’encadrement obtenu pour $(u_n)$.

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types