Fonction logarithme népérien : cours de Terminale et exercices

1Définition et lien avec l’exponentielle

Définition. La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur $\intoo{0}{+\infty}$ et, pour $x>0$ et $y\in\R$ :

y=\ln x\iff x=\e^{y}.

Propriété. Pour tout $x>0$ et tout $y\in\R$ : $\ \ln\!\left(\e^{y}\right)=y$ , $\ \e^{\ln x}=x$ , $\ \ln 1=0$ , $\ \ln \e=1$ , $\ \ln \e^{n}=n$ .

Remarque. $\ln x$ n’existe que pour $x>0$ : avant tout calcul, chercher l’ensemble de définition.

2Propriétés algébriques

Propriété — relation fondamentale. Pour tous réels $a>0$ et $b>0$ : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ . On en déduit, pour $a>0$ , $b>0$ et $n\in\Z$ :

Formulaire

$\displaystyle \ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ ; $\displaystyle \ln\frac{1}{b}=-\ln b$ ; $\ln\!\left(a^{n}\right)=n\ln a$ ; $\displaystyle \ln\sqrt{a}=\frac{1}{2}\ln a$ .
Valeurs utiles : $\ln 2\approx 0{,}69$ ; $\ln 3\approx 1{,}10$ ; $\ln 10\approx 2{,}30$ .

3Étude de la fonction $\ln$

Propriété. $\ln$ est dérivable sur $\intoo{0}{+\infty}$ et $(\ln)'(x)=\dfrac{1}{x}>0$ : elle est strictement croissante sur $\intoo{0}{+\infty}$ .

Propriété — limites aux bornes. $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$ (asymptote verticale : l’axe des ordonnées) et $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ .

Figure 1 — Les courbes de $\ln$ et de $\exp$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$ . En pointillés verts, la tangente $T$ à la courbe de $\ln$ au point d’abscisse $1$ : $y=x-1$ .

Propriété — dérivée d’une composée. Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ , alors $\ln u$ est dérivable sur $I$ et

(\ln u)'=\frac{u'}{u}.

Propriété — croissances comparées. Pour tout entier $n\geq 1$ :

\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{n}}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{n}}{\ln x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^{+}}x^{n}\ln x=0.

À l’infini, $\ln$ croît moins vite que toute puissance de $x$ .

4Équations et inéquations

Propriété. La stricte croissance de $\ln$ donne, pour $a>0$ et $b>0$ :

\ln a=\ln b\iff a=b,\qquad \ln a<\ln b\iff a<b,\qquad \ln a>0\iff a>1.

Méthode — résoudre $\ln A(x)=\ln B(x)$ . déterminer d’abord l’ensemble $D$ des $x$ tels que $A(x)>0$ et $B(x)>0$ , puis résoudre $A(x)=B(x)$ et ne garder que les solutions appartenant à $D$ .

Méthode — résoudre $q^{n}\leq A$ ou $q^{n}\geq A$ (seuil, $q>0$ , $A>0$ ). appliquer $\ln$ : $n\ln q\leq \ln A$ , puis diviser par $\ln q$ en changeant le sens de l’inégalité si $\ln q<0$ , c’est-à-dire si $0<q<1$ .

5Logarithme décimal

Définition. Pour $x>0$ , le logarithme décimal est $\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$ . Il a les mêmes propriétés algébriques que $\ln$ , avec $\log 10=1$ : pour tout $n\in\Z$ , $\log\!\left(10^{n}\right)=n$ ; pour tout réel $y$ , $y=\log x\iff x=10^{y}$ . Usage en physique-chimie : $\mathrm{pH}=-\log\left[\ce{H3O+}\right]$ , niveau sonore $L=10\log\frac{I}{I_0}$ (en ${\mathrm{dB}}$ ).

6Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Passer d’une écriture exponentielle à une écriture logarithmique et réciproquement ; simplifier une expression avec les propriétés algébriques.
Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction contenant $\ln$ , puis dériver $\ln u$ et dresser le tableau de variations.
Résoudre équations et inéquations avec $\ln$ ou $\exp$ ; déterminer le plus petit entier $n$ vérifiant un seuil.
Lever une indétermination par croissances comparées ; déterminer les asymptotes d’une courbe.
Étudier une fonction du type $x\mapsto x-\ln x$ ou $x\mapsto \frac{\ln x}{x}$ et exploiter le tableau de variations.

7Exemples types

Exempleéquation

Résoudre $\ln(x-1)+\ln(x+2)=\ln 4$ . Conditions : $x>1$ et $x>-2$ , donc $D=\intoo{1}{+\infty}$ . L’équation s’écrit $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr)=\ln 4$ , soit $x^{2}+x-6=0$ : $x=2$ ou $x=-3$ . Seul $2\in D$ : $\mathcal{S}=\{2\}$ .

Exempleseuil

Une population diminue de ${8\%}$ par an : $u_{n}=u_{0}\times 0{,}92^{n}$ . Chercher $n$ tel que $u_{n}\leq 0{,}5\,u_{0}$ , c’est résoudre $0{,}92^{n}\leq 0{,}5$ , soit $n\ln 0{,}92\leq \ln 0{,}5$ , donc $n\geq \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92}\approx 8{,}3$ (le sens change car $\ln 0{,}92<0$ ) : au bout de $9$ ans.

Exempleétude d’une fonction

Soit $f(x)=x-\ln x$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ . Alors $f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$ , du signe de $x-1$ : $f$ décroît sur $\intof{0}{1}$ , croît sur $\intfo{1}{+\infty}$ ; minimum $f(1)=1>0$ . On en déduit $\ln x<x$ pour tout $x>0$ .

Pièges

$\ln(a+b)\neq \ln a+\ln b$ et $\ln(ab)\neq \ln a\times\ln b$ : seules les formules du formulaire sont valables.
$\ln$ n’est définie que sur $\intoo{0}{+\infty}$ : vérifier les conditions de positivité avant de résoudre, puis conclure dans $D$ .
$\ln x<0$ pour $0<x<1$ : diviser par $\ln q$ avec $0<q<1$ inverse l’inégalité.
$\left(\ln x\right)^{2}$ et $\ln\!\left(x^{2}\right)=2\ln x$ (pour $x>0$ ) sont deux expressions différentes.

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Fonction logarithme népérien

1Définition et lien avec l’exponentielle

2Propriétés algébriques

3Étude de la fonction $\ln$

4Équations et inéquations

5Logarithme décimal

6Savoir-faire du chapitre

7Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Sujet type bac

Terminale · Mathématiques : les 17 chapitres

Fonction logarithme népérien

1Définition et lien avec l’exponentielle

2Propriétés algébriques

3Étude de la fonction ln⁡\ln

4Équations et inéquations

5Logarithme décimal

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3Étude de la fonction $\ln$