Terminale spécialité · Mathématiques · Probabilités · Chapitre 15

Succession d’épreuves indépendantes et loi binomiale

Fiche de cours3 min de lecturePar Robin RinguetMise à jour : octobre 2026

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1Succession d’épreuves indépendantes

Définition. Des épreuves sont indépendantes lorsque le résultat de l’une n’influe pas sur les probabilités des suivantes. Une issue de la succession de $n$ épreuves est un $n$ -uplet de résultats.

Propriété. La probabilité d’une issue d’une succession d’épreuves indépendantes est le produit des probabilités de ses composantes : c’est le produit des probabilités portées par le chemin correspondant de l’arbre.

Remarque. Outils toujours disponibles : $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ avec $P(A)\neq 0$ , la formule des probabilités totales $P(B)=P(A\cap B)+P\left(\overline A\cap B\right)$ , et $P\left(\overline B\right)=1-P(B)$ . Sur un arbre : on multiplie le long d’un chemin, on additionne les chemins qui réalisent l’événement.

2Épreuve et loi de Bernoulli

Définition. Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p\in\intff{0}{1}$ est une expérience à deux issues : le succès $S$ , de probabilité $p$ , et l’échec $\overline S$ , de probabilité $1-p$ .

Définition. La variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d’échec suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $P(X=1)=p$ , $P(X=0)=1-p$ , et

E(X)=p,\qquad V(X)=p(1-p),\qquad \sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}.

Définition. Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli de paramètre $p$ , identiques et indépendantes.

3Loi binomiale

Définition. Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , la variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ . Elle prend ses valeurs dans $\ens{0\,;1\,;\dots\,;n}$ .

Théorème. Pour tout entier $k$ tel que $0\leq k\leq n$ :

P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}.

Idée : un chemin réalisant $k$ succès a pour probabilité $p^{k}(1-p)^{n-k}$ , et il y a $\binom nk$ façons de choisir les rangs des $k$ succès.

Propriété. $E(X)=np$ , $\ V(X)=np(1-p)$ , $\ \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$ (démontré au chapitre suivant).

Figure 1 — Loi $\mathcal{B}(10\,;0{,}4)$ : le maximum est atteint près de $E(X)=4$ .

4Calculs et problèmes de seuil

Formulaire

X

suit la loi

\mathcal{B}(n\,;p)

$P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^{n}$ ; $P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)$ ; $P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a-1)$ .
La calculatrice donne $P(X=k)$ (loi binomiale) et $P(X\leq k)$ (loi binomiale cumulée) : toute probabilité se ramène à ces deux touches.
Seuil : chercher le plus petit $n$ tel que $P(X\geq 1)\geq \alpha$ revient à résoudre $(1-p)^{n}\leq 1-\alpha$ (avec $0<p<1$ et $0<\alpha<1$ ), donc $n\geq\dfrac{\ln(1-\alpha)}{\ln(1-p)}$ (le sens change car $\ln(1-p)<0$ ) ; sinon, on balaie les valeurs de $n$ ou $k$ avec la calculatrice ou un algorithme.
Intervalle $I=\intff{a}{b}$ tel que $P(X\in I)\geq 1-\alpha$ : on choisit $a$ le plus grand possible avec $P(X\leq a-1)\leq\alpha/2$ , et $b$ le plus petit possible avec $P(X\leq b)\geq 1-\alpha/2$ .

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Représenter une succession d’épreuves indépendantes par un arbre et calculer la probabilité d’une issue par un produit.
Justifier qu’une situation est un schéma de Bernoulli (épreuves identiques, indépendantes, deux issues) et identifier $n$ , $p$ et le succès.
Calculer $P(X=k)$ par la formule, puis $P(X\leq k)$ , $P(X\geq k)$ , $P(a\leq X\leq b)$ à la calculatrice.
Calculer et interpréter $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ .
Résoudre un problème de seuil, de comparaison ou d’optimisation, et déterminer un intervalle $I$ tel que $P(X\in I)\geq 1-\alpha$ .

6Exemples types

Exemplereconnaître une loi binomiale

On prélève au hasard $10$ pièces dans une production très nombreuse dont ${40\%}$ sont marquées. Les prélèvements sont assimilés à $10$ épreuves identiques et indépendantes, de succès « la pièce est marquée » ( $p=0{,}4$ ) : $X$ , nombre de pièces marquées, suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}4)$ .

Exemplecalculs de probabilités

Avec $X\sim\mathcal{B}(10\,;0{,}4)$ : $P(X=4)=\binom{10}{4}\times 0{,}4^{4}\times 0{,}6^{6}\approx 0{,}251$ ; à la calculatrice $P(X\leq 3)\approx 0{,}382$ , donc $P(X\geq 4)\approx 0{,}618$ et $P(3\leq X\leq 5)=P(X\leq 5)-P(X\leq 2)\approx 0{,}666$ . Enfin $E(X)=4$ , $V(X)=2{,}4$ et $\sigma(X)\approx 1{,}55$ .

Exempleproblème de seuil

Une machine produit ${30\%}$ de pièces d’un certain type ; la production est assez importante pour assimiler les prélèvements à des tirages indépendants. Combien de pièces prélever pour obtenir au moins une pièce de ce type avec une probabilité d’au moins $0{,}95$ ? Le nombre $X$ de pièces de ce type parmi les $n$ prélevées suit $\mathcal{B}(n\,;0{,}3)$ : $P(X\geq 1)=1-0{,}7^{n}\geq 0{,}95\ssi 0{,}7^{n}\leq 0{,}05\ssi n\geq\dfrac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}7}\approx 8{,}4$ . Il faut donc $n=9$ pièces.

Pièges

Vérifier les trois conditions du schéma de Bernoulli : deux issues, épreuves identiques, épreuves indépendantes. Un tirage sans remise dans une petite population n’est pas binomial.
Ne pas oublier le coefficient $\binom nk$ : $p^{k}(1-p)^{n-k}$ n’est que la probabilité d’un chemin.
$P(X\geq k)\neq 1-P(X\leq k)$ : la bonne formule est $P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)$ .
$\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$ et non $np(1-p)$ ; $E(X)=np$ n’est pas forcément une valeur prise par $X$ .
Identifier clairement le succès : si le succès est l’événement contraire de celui de l’énoncé, le paramètre devient $1-p$ .

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Exercices, contrôles et sujets

Les énoncés sont en accès libre, à télécharger en PDF.

Exercices de base

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Les bases : arbres et épreuves indépendantes, loi de Bernoulli, schéma de Bernoulli, loi binomiale

10 exercicesniveau Difficulté 1 sur 3 à Difficulté 2 sur 3durée conseillée : 2 h 15calculatrice autorisée

Deux étapes de fabricationDifficulté 1 sur 3
Trois lancers d’une pièce truquéeDifficulté 1 sur 3
Épreuve de Bernoulli, loi de BernoulliDifficulté 1 sur 3
Est-ce un schéma de Bernoulli ?Difficulté 1 sur 3
De la formule à la calculatriceDifficulté 1 sur 3
Espérance, variance, écart typeDifficulté 2 sur 3
Lire un diagramme en bâtonsDifficulté 2 sur 3
Un premier problème de seuilDifficulté 2 sur 3
Un lot de piècesDifficulté 2 sur 3
Autour de l’espéranceDifficulté 2 sur 3

Exercices d'application

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Problèmes : QCM au hasard, contrôle qualité, sondage, seuils, comparaison, simulation en Python, validation d’un modèle

8 exercicesniveau Difficulté 2 sur 3durée conseillée : 2 h 30calculatrice autorisée

Répondre au hasard à un QCMDifficulté 2 sur 3
Deux chaînes de productionDifficulté 2 sur 3
Un sondageDifficulté 2 sur 3
Un défaut rareDifficulté 2 sur 3
Le pari du chevalier de MéréDifficulté 2 sur 3
Simuler un schéma de BernoulliDifficulté 2 sur 3
Le format d’un matchDifficulté 2 sur 3
Valider un modèleDifficulté 2 sur 3

Contrôle A

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QCM, trois feux tricolores, contrôle qualité d’ampoules, problème de seuil et algorithme

Durée : 1 hcalculatrice autorisée4 exercices indépendantsbarème sur 20

Questionnaire à choix multiples5 ptsDifficulté 1 sur 3
Contrôle qualité d’un lot d’ampoules6 ptsDifficulté 2 sur 3
Trois feux tricolores5 ptsDifficulté 1 sur 3
Un problème de seuil4 ptsDifficulté 2 sur 3

Contrôle B

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Vrai ou faux, démonstration de $P(X=k)$ , surréservation aérienne, valeur la plus probable et intervalle

Durée : 1 hcalculatrice autorisée4 exercices indépendantsbarème sur 20

Vrai ou faux ?4 ptsDifficulté 2 sur 3
La formule $P(X=k)$ 5 ptsDifficulté 3 sur 3
La surréservation6 ptsDifficulté 3 sur 3
La valeur la plus probable5 ptsDifficulté 2 sur 3

Approfondissement

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Pour aller plus loin : symétrie et somme des probabilités, mode, planche de Galton, temps d’attente, estimation de $p$

6 exercicesniveau Difficulté 3 sur 3durée conseillée : 2 h 30calculatrice autorisée

Symétrie et somme des probabilitésDifficulté 3 sur 3
La valeur la plus probableDifficulté 3 sur 3
La planche de GaltonDifficulté 3 sur 3
Le temps d’attente du premier succès (hors programme — pour aller plus loin)Difficulté 3 sur 3
Estimer la proportion $p$ Difficulté 3 sur 3
Le problème de Newton et PepysDifficulté 3 sur 3

Sujet type bac

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QCM — Les vélos en libre-service : disponibilité de la flotte, contrôles aléatoires et maintenance

Durée : 1 h 30calculatrice autorisée2 exercices indépendantsbarème sur 12

Questionnaire à choix multiples5 ptsDifficulté 2 sur 3
Les vélos en libre-service7 ptsDifficulté 2 sur 3

Terminale · Mathématiques : les 17 chapitres

Raisonnement par récurrence
Limites de suites
Limites de fonctions
Continuité
Compléments sur la dérivation
Convexité
Fonction logarithme népérien
Fonctions sinus et cosinus
Primitives et équations différentielles
Calcul intégral
Combinatoire et dénombrement
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Orthogonalité et distances dans l’espace
Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Succession d’épreuves indépendantes et loi binomiale
Sommes de variables aléatoires
Concentration et loi des grands nombres