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Terminale spécialité · Mathématiques · Algèbre et géométrie · Chapitre 13

Orthogonalité et distances dans l’espace

Fiche de cours4 min de lecturePar Robin RinguetMise à jour : octobre 2026
Télécharger la fiche (PDF)Exercices et contrôles

1Produit scalaire dans l’espace

Définition. Deux vecteurs de l’espace admettent toujours des représentants coplanaires : leur produit scalaire u⃗⋅v⃗\vv u\cdot\vv v est celui calculé dans ce plan. Pour u⃗\vv u et v⃗\vv v non nuls, u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vv u\cdot\vv v=\norme{\vv u}\times\norme{\vv v}\times\cos\theta, où θ\theta est l’angle géométrique des deux vecteurs ; si u⃗=0⃗\vv u=\vv 0 ou v⃗=0⃗\vv v=\vv 0, u⃗⋅v⃗=0\vv u\cdot\vv v=0.

Propriété — symétrie et bilinéarité. u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vv u\cdot\vv v=\vv v\cdot\vv u,  u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\ \vv u\cdot(\vv v+\vv w)=\vv u\cdot\vv v+\vv u\cdot\vv w,  (k u⃗)⋅v⃗=k (u⃗⋅v⃗)\ (k\,\vv u)\cdot\vv v=k\,(\vv u\cdot\vv v), et u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vv u\cdot\vv u=\norme{\vv u}^{2} (noté u⃗ 2\vv u^{\,2}).

Propriété — développements et polarisation. Pour tous vecteurs u⃗\vv u et v⃗\vv v :

∥u⃗±v⃗∥2=∥u⃗∥2±2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2,u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)=14(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗−v⃗∥2).\norme{\vv u\pm\vv v}^{2}=\norme{\vv u}^{2}\pm 2\,\vv u\cdot\vv v+\norme{\vv v}^{2},\qquad \vv u\cdot\vv v=\tfrac12\left(\norme{\vv u+\vv v}^{2}-\norme{\vv u}^{2}-\norme{\vv v}^{2}\right)=\tfrac14\left(\norme{\vv u+\vv v}^{2}-\norme{\vv u-\vv v}^{2}\right).

Méthode — dans une figure. Décomposer les vecteurs par la relation de Chasles sur des vecteurs dont on connaît les normes et les angles, puis développer par bilinéarité ; les termes orthogonaux disparaissent.

2Repère orthonormé, norme et distance

Définition. Une base (i⃗,j⃗,k⃗)\left(\vv i,\vv j,\vv k\right) est orthonormée si les trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de norme 11 ; un repère (O ;i⃗,j⃗,k⃗)\left(O\,;\vv i,\vv j,\vv k\right) est alors orthonormé.

Propriété. Dans un repère orthonormé, si u⃗(x ;y ;z)\vv u(x\,;y\,;z) et v⃗(x′ ;y′ ;z′)\vv v(x'\,;y'\,;z') :

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′,∥u⃗∥=x2+y2+z2,AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2.\vv u\cdot\vv v=xx'+yy'+zz',\qquad \norme{\vv u}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}+(z_B-z_A)^{2}}.

Remarque. L’angle θ\theta entre deux vecteurs non nuls s’obtient par cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos\theta=\dfrac{\vv u\cdot\vv v}{\norme{\vv u}\,\norme{\vv v}}, avec θ∈[0 ;π]\theta\in\intff{0}{\pi}.

3Orthogonalité

Définition. u⃗\vv u et v⃗\vv v sont orthogonaux lorsque u⃗⋅v⃗=0\vv u\cdot\vv v=0. Deux droites sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs le sont ; si de plus elles sont sécantes, elles sont perpendiculaires.

Théorème — droite orthogonale à un plan. Si une droite dd est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan P\mathcal P, alors elle est orthogonale à toutes les droites de P\mathcal P : on dit que dd est orthogonale à P\mathcal P.

Définition. Un vecteur normal à P\mathcal P est un vecteur directeur n⃗≠0⃗\vv n\neq\vv 0 d’une droite orthogonale à P\mathcal P. Alors M∈P  ⟺  AM→⋅n⃗=0M\in\mathcal P\ssi\vect{AM}\cdot\vv n=0, pour A∈PA\in\mathcal P fixé.

Propriété. Deux plans sont parallèles   ⟺  \ssi leurs vecteurs normaux sont colinéaires ; une droite est parallèle à un plan   ⟺  \ssi son vecteur directeur est orthogonal à un vecteur normal du plan.

Définition. Le plan médiateur de [AB][AB] (A≠BA\neq B) est l’ensemble des points MM tels que MA=MBMA=MB : c’est le plan passant par le milieu de [AB][AB] et de vecteur normal AB→\vect{AB}.

Figure 1 — HH est le projeté orthogonal de MM sur P\mathcal P : pour tout NN de P\mathcal P, MN⩾MHMN\geq MH.

4Projeté orthogonal, distances, aires et volumes

Définition. Le projeté orthogonal de MM sur une droite dd (resp. sur un plan P\mathcal P) est l’unique point HH de dd (resp. de P\mathcal P) tel que MH→\vect{MH} soit orthogonal à dd (resp. à P\mathcal P).

Théorème. HH est le point de dd (resp. de P\mathcal P) le plus proche de MM, et d(M,d)=MHd(M,d)=MH (resp. d(M,P)=MHd(M,\mathcal P)=MH). Idée : pour N≠HN\neq H, le triangle MHNMHN est rectangle en HH, donc MN2=MH2+HN2>MH2MN^{2}=MH^{2}+HN^{2}>MH^{2}.

Méthode — calculer un projeté. Sur la droite passant par AA et de vecteur directeur u⃗\vv u : écrire AH→=t u⃗\vect{AH}=t\,\vv u puis résoudre MH→⋅u⃗=0\vect{MH}\cdot\vv u=0, ce qui donne t=AM→⋅u⃗∥u⃗∥2t=\dfrac{\vect{AM}\cdot\vv u}{\norme{\vv u}^{2}}. Sur un plan dirigé par u⃗\vv u et v⃗\vv v : écrire AH→=s u⃗+t v⃗\vect{AH}=s\,\vv u+t\,\vv v et résoudre le système MH→⋅u⃗=0\vect{MH}\cdot\vv u=0 et MH→⋅v⃗=0\vect{MH}\cdot\vv v=0.

Propriété — aires et volumes. Aire du triangle ABCABC : A=12 AB×AC×sin⁡θ\mathcal A=\frac12\,AB\times AC\times\sin\theta, où θ=BAC^\theta=\widehat{BAC} s’obtient par le produit scalaire ; on peut aussi écrire A=12 AB×d(C,(AB))\mathcal A=\frac12\,AB\times d(C,(AB)). Volume d’un tétraèdre : V=13 Abase×h\mathcal V=\frac13\,\mathcal A_{\text{base}}\times h, où hh est la distance du sommet au plan de base.

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire
  • Calculer un produit scalaire par les coordonnées, par norme et angle, ou par décomposition dans une figure.
  • Calculer une norme, une distance entre deux points, un angle ; démontrer qu’un triangle est rectangle.
  • Démontrer que deux vecteurs, deux droites, ou une droite et un plan sont orthogonaux ; reconnaître ou déterminer un vecteur normal.
  • Déterminer le projeté orthogonal d’un point sur une droite ou sur un plan, puis la distance correspondante.
  • Calculer une aire de triangle et un volume de tétraèdre ; caractériser un plan médiateur.

6Exemples types

Exempleangle entre deux vecteurs

Dans un repère orthonormé, u⃗(1 ;2 ;−2)\vv u(1\,;2\,;-2) et v⃗(3 ;0 ;4)\vv v(3\,;0\,;4) : u⃗⋅v⃗=3+0−8=−5\vv u\cdot\vv v=3+0-8=-5, ∥u⃗∥=3\norme{\vv u}=3 et ∥v⃗∥=5\norme{\vv v}=5. Donc cos⁡θ=−515=−13\cos\theta=\dfrac{-5}{15}=-\dfrac13 et θ≈109,5∘\theta\approx{109{,}5^{\circ}} : l’angle est obtus.

Exemplevecteur normal à un plan

Soit A(1 ;0 ;0)A(1\,;0\,;0), B(0 ;2 ;0)B(0\,;2\,;0), C(0 ;0 ;1)C(0\,;0\,;1) : AB→(−1 ;2 ;0)\vect{AB}(-1\,;2\,;0) et AC→(−1 ;0 ;1)\vect{AC}(-1\,;0\,;1) ne sont pas colinéaires. Le vecteur n⃗(2 ;1 ;2)\vv n(2\,;1\,;2) vérifie n⃗⋅AB→=−2+2+0=0\vv n\cdot\vect{AB}=-2+2+0=0 et n⃗⋅AC→=−2+0+2=0\vv n\cdot\vect{AC}=-2+0+2=0 : c’est un vecteur normal au plan (ABC)(ABC).

Exempleprojeté orthogonal sur une droite

Soit dd la droite passant par O(0 ;0 ;0)O(0\,;0\,;0) de vecteur directeur u⃗(1 ;2 ;2)\vv u(1\,;2\,;2), et M(3 ;0 ;3)M(3\,;0\,;3). Avec OH→=t u⃗\vect{OH}=t\,\vv u : t=OM→⋅u⃗∥u⃗∥2=3+0+69=1t=\dfrac{\vect{OM}\cdot\vv u}{\norme{\vv u}^{2}}=\dfrac{3+0+6}{9}=1, donc H(1 ;2 ;2)H(1\,;2\,;2). Alors MH→(−2 ;2 ;−1)\vect{MH}(-2\,;2\,;-1) et d(M,d)=MH=3d(M,d)=MH=3.

Pièges
  • Les formules u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vv u\cdot\vv v=xx'+yy'+zz' et ∥u⃗∥=x2+y2+z2\norme{\vv u}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} n’ont de sens que dans un repère orthonormé.
  • Dans l’espace, deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes : « perpendiculaires » signifie en plus sécantes.
  • Pour montrer qu’une droite est orthogonale à un plan, il faut deux droites du plan sécantes : deux droites parallèles ne suffisent pas.
  • u⃗⋅v⃗=0\vv u\cdot\vv v=0 n’entraîne pas u⃗=0⃗\vv u=\vv 0 ou v⃗=0⃗\vv v=\vv 0 ; et u⃗⋅v⃗=u⃗⋅w⃗\vv u\cdot\vv v=\vv u\cdot\vv w n’entraîne pas v⃗=w⃗\vv v=\vv w.
  • Ne pas confondre distance et longueur d’un segment quelconque : d(M,P)d(M,\mathcal P) se calcule avec le projeté orthogonal, jamais avec un point quelconque du plan.
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Exercices, contrôles et sujets

Les énoncés sont en accès libre, à télécharger en PDF.

1

Exercices de base

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Les bases : produit scalaire, norme, distance, orthogonalité, vecteur normal, projeté orthogonal

9 exercicesniveau Difficulté 1 sur 3 à Difficulté 2 sur 3durée conseillée : 2 h 30calculatrice autorisée

  1. Produit scalaire et coordonnéesDifficulté 1 sur 3
  2. Un triangle dans l’espaceDifficulté 1 sur 3
  3. Produits scalaires dans un cubeDifficulté 1 sur 3
  4. Normes, angles et polarisationDifficulté 2 sur 3
  5. Une droite orthogonale à un planDifficulté 2 sur 3
  6. Triangle équilatéral et vecteur normalDifficulté 2 sur 3
  7. Distance d’un point à une droiteDifficulté 2 sur 3
  8. Le plan médiateur d’un segmentDifficulté 2 sur 3
  9. Le tétraèdre régulierDifficulté 2 sur 3
2

Exercices d'application

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Problèmes : tétraèdres, cube, mât haubané, pyramide, pavé droit — aires, volumes, angles et distances

7 exercicesniveau Difficulté 2 sur 3durée conseillée : 2 h 30calculatrice autorisée

  1. Le tétraèdre trirectangleDifficulté 2 sur 3
  2. La grande diagonale du cubeDifficulté 2 sur 3
  3. Un mât haubanéDifficulté 2 sur 3
  4. Une pyramide à base carréeDifficulté 2 sur 3
  5. Deux arêtes opposées orthogonalesDifficulté 2 sur 3
  6. Un pavé droitDifficulté 2 sur 3
  7. Le panneau solaire et le droneDifficulté 2 sur 3
3

Contrôle A

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QCM, triangle rectangle et vecteur normal, orthogonalité dans un cube, plan médiateur

Durée : 1 hcalculatrice autorisée4 exercices indépendantsbarème sur 20

  1. Questionnaire à choix multiples5 ptsDifficulté 1 sur 3
  2. Un triangle rectangle et son plan5 ptsDifficulté 2 sur 3
  3. Orthogonalité dans un cube5 ptsDifficulté 2 sur 3
  4. Polarisation et plan médiateur5 ptsDifficulté 2 sur 3
4

Contrôle B

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Vrai/Faux justifié, tétraèdre trirectangle, orthogonalité dans un cube, problème du hangar

Durée : 1 hcalculatrice autorisée4 exercices indépendantsbarème sur 20

  1. Vrai ou faux ?4 ptsDifficulté 2 sur 3
  2. Un tétraèdre trirectangle6 ptsDifficulté 2 sur 3
  3. Une diagonale orthogonale à un plan5 ptsDifficulté 3 sur 3
  4. Le hangar5 ptsDifficulté 3 sur 3
5

Approfondissement

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Pour aller plus loin : les démonstrations du cours, tétraèdre orthocentrique, trinôme et Cauchy-Schwarz, lieux de points, sections et tétraèdres remarquables du cube

7 exercicesniveau Difficulté 3 sur 3durée conseillée : 3 hcalculatrice autorisée

  1. La démonstration du cours : le projeté réalise la distanceDifficulté 3 sur 3
  2. Le théorème de la droite orthogonale à un planDifficulté 3 sur 3
  3. Le tétraèdre orthocentriqueDifficulté 3 sur 3
  4. Un trinôme pour la distance, et l’inégalité de Cauchy-SchwarzDifficulté 3 sur 3
  5. Formule de la médiane et lieux de pointsDifficulté 3 sur 3
  6. La section hexagonale du cubeDifficulté 3 sur 3
  7. Le tétraèdre régulier caché dans le cube, et l’angle du méthaneDifficulté 3 sur 3
6

Sujet type bac

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Une verrière pyramidale : orthogonalité, aires, volumes et distances — puis un QCM et un Vrai/Faux justifié

Durée : 1 h 30calculatrice autorisée2 exercices indépendantsbarème sur 12

  1. Une verrière pyramidale7 ptsDifficulté 2 sur 3
  2. QCM et Vrai/Faux5 ptsDifficulté 2 sur 3

Terminale · Mathématiques : les 17 chapitres

  1. Raisonnement par récurrence
  2. Limites de suites
  3. Limites de fonctions
  4. Continuité
  5. Compléments sur la dérivation
  6. Convexité
  7. Fonction logarithme népérien
  8. Fonctions sinus et cosinus
  9. Primitives et équations différentielles
  10. Calcul intégral
  11. Combinatoire et dénombrement
  12. Vecteurs, droites et plans de l’espace
  13. Orthogonalité et distances dans l’espace
  14. Représentations paramétriques et équations cartésiennes
  15. Succession d’épreuves indépendantes et loi binomiale
  16. Sommes de variables aléatoires
  17. Concentration et loi des grands nombres