Limites de fonctions

1Définitions

Définition — limite en $\pm\infty$. $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ signifie que tout intervalle $\intfo{A}{+\infty}$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On définit de même les limites en $-\infty$.

Définition — limite en un réel $a$. $\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty$ signifie que tout intervalle $\intfo{A}{+\infty}$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$.

Notation. Si le comportement diffère de part et d’autre de $a$, on distingue la limite à gauche $\lim\limits_{x\to a^{-}}$ ($x<a$) et la limite à droite $\lim\limits_{x\to a^{+}}$ ($x>a$).

2Limites des fonctions de référence et opérations

Propriété. Les limites d’une somme, d’un produit, d’un quotient se combinent, sauf dans les quatre formes indéterminées. Si $\lim f=\ell\neq 0$ et $\lim g=0$ avec $g>0$, alors $\lim\frac{f}{g}=+\infty$ si $\ell>0$, $-\infty$ si $\ell<0$ : le signe du dénominateur décide.

Propriété — composition. Si $u(x)\to b$ quand $x\to a$, et $g(X)\to c$ quand $X\to b$ ($a$, $b$, $c$ réels ou $\pm\infty$), alors $g\big(u(x)\big)\to c$ quand $x\to a$. Ex. : $-x^{2}\to-\infty$ et $\e^{X}\to 0$ en $-\infty$, donc $\e^{-x^{2}}\to 0$ en $+\infty$.

Méthode — lever une indétermination. Pour un polynôme ou un quotient de polynômes en $\pm\infty$, factoriser par le terme de plus haut degré du numérateur et du dénominateur, puis simplifier. Avec une exponentielle, factoriser par $\e^{x}$ et utiliser les croissances comparées.

3Croissances comparées

Théorème. Pour tout entier $n\geq 1$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\e^{x}}{x^{n}}=+\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^{n}}{\e^{x}}=0$, $\lim\limits_{x\to-\infty}x^{n}\e^{x}=0$.

Remarque. En $+\infty$, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance de $x$. Idée de la démonstration (exigible) : l’étude de $x\mapsto \e^{x}-\frac{x^{2}}{2}$ donne $\e^{x}>\frac{x^{2}}{2}$ pour $x\geq 0$, donc $\frac{\e^{x}}{x}>\frac{x}{2}\to+\infty$ ; on généralise en posant $X=\frac{x}{n}$.

4Comparaison et gendarmes

Théorème — comparaison. Si $f(x)\geq g(x)$ au voisinage de $+\infty$ et si $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ (énoncé analogue avec $-\infty$).

Théorème — théorème des gendarmes. Si $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ au voisinage de $+\infty$ et si $g$ et $h$ ont la même limite finie $\ell$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ell$.

Remarque. On s’en sert dès qu’apparaît un terme borné : $-1\leq\cos x\leq 1$ et $-1\leq\sin x\leq 1$ fournissent l’encadrement de départ.

5Asymptotes parallèles aux axes

6Savoir-faire du chapitre

7Exemples types