Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Dans toute la fiche, le repère $\left(O\,;\vv i,\vv j,\vv k\right)$ est supposé orthonormé dès qu’il est question de vecteur normal, de norme ou de distance.

1Représentation paramétrique d’une droite

Théorème. La droite $d$ passant par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et de vecteur directeur $\vv u(\alpha\,;\beta\,;\gamma)$, $\vv u\neq\vv 0$, est l’ensemble des points $M(x\,;y\,;z)$ tels que $\vect{AM}=t\,\vv u$ avec $t\in\R$, c’est-à-dire :

C’est une représentation paramétrique de $d$ ; $t$ est le paramètre.

Remarque. Une droite admet une infinité de représentations paramétriques : on peut changer de point et remplacer $\vv u$ par n’importe quel vecteur colinéaire non nul.

Méthode — savoir-faire de base. (a) Pour la droite $(AB)$, prendre $\vv u=\vect{AB}$. (b) Pour tester si $M_0\in d$, chercher $t$ à partir d’une équation où le coefficient de $t$ n’est pas nul, et vérifier qu’il convient pour les deux autres. (c) Pour comparer deux représentations, vérifier que les vecteurs directeurs sont colinéaires et qu’un point de l’une appartient à l’autre.

2Équation cartésienne d’un plan

Théorème. Le plan $\mathcal P$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vv n(a\,;b\,;c)\neq\vv 0$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\vect{AM}\cdot\vv n=0$ ; il admet une équation cartésienne

Démonstration : $\vect{AM}\cdot\vv n=a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$, que l’on développe.

Théorème — réciproque. Si $(a\,;b\,;c)\neq(0\,;0\,;0)$, l’ensemble des points vérifiant $ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal $\vv n(a\,;b\,;c)$.

Méthode — déterminer une équation de plan. (a) Point et vecteur normal : écrire $ax+by+cz+d=0$ puis calculer $d$ avec les coordonnées du point. (b) Trois points non alignés $A$, $B$, $C$ : chercher $\vv n(a\,;b\,;c)$ tel que $\vv n\cdot\vect{AB}=0$ et $\vv n\cdot\vect{AC}=0$ (système à deux équations : on fixe une composante), puis revenir au cas (a).

3Positions relatives et intersections

Méthode — droite et plan. Remplacer $x$, $y$, $z$ par leur expression paramétrique dans l’équation du plan. L’équation en $t$ obtenue a une solution (droite sécante au plan, intersection en un point), aucune solution (droite strictement parallèle) ou une infinité (droite contenue dans le plan). Critère direct : $d\parallel\mathcal P\ssi\vv u\cdot\vv n=0$.

Méthode — deux droites. Résoudre le système donné par les deux paramétrages, avec deux paramètres distincts $t$ et $s$. Solution unique : droites sécantes ; une infinité de solutions : droites confondues ; aucune solution : droites strictement parallèles (vecteurs directeurs colinéaires) ou non coplanaires (vecteurs directeurs non colinéaires).

Méthode — deux plans. $\mathcal P\parallel\mathcal P'\ssi\vv n$ et $\vv n'$ sont colinéaires (plans confondus si les équations sont proportionnelles). Sinon l’intersection est une droite : on résout le système de deux équations en posant l’une des inconnues égale au paramètre $t$.

Propriété — base de l’espace. Trois vecteurs $\vv u$, $\vv v$, $\vv w$ forment une base $\ssi$ ils ne sont pas coplanaires $\ssi$ le système $x\,\vv u+y\,\vv v+z\,\vv w=\vv 0$ n’admet que la solution $x=y=z=0$.

4Projeté orthogonal et distance

Méthode — projeté sur un plan. Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\mathcal P$ est le point d’intersection de $\mathcal P$ et de la droite passant par $M$ et de vecteur directeur $\vv n$ : on écrit la représentation paramétrique de cette droite, on la reporte dans l’équation de $\mathcal P$, on en tire $t$, puis $H$. Enfin $d(M,\mathcal P)=MH$.

Méthode — projeté sur une droite. Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$ (de vecteur directeur $\vv u$) est le point d’intersection de $d$ et du plan passant par $M$ et de vecteur normal $\vv u$ ; on peut aussi écrire $H(x_A+\alpha t\,;\dots)$ et résoudre $\vect{MH}\cdot\vv u=0$. Enfin $d(M,d)=MH$.

Remarque. Le point $H$ étant connu, le symétrique de $M$ par rapport à $\mathcal P$ (ou à $d$) est le point $M'$ tel que $H$ soit le milieu de $[MM']$.

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types