Première spécialité · Mathématiques · Chapitre 6

Variations et extremums

Fiche de cours5 min de lecturePar Robin RinguetMise à jour : octobre 2026

Télécharger la fiche (PDF)Exercices et contrôles

1Signe de la dérivée et sens de variation

Théorème — admis. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Formulaire

Si $f'(x)\geq 0$ pour tout $x\in I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ .
Si $f'(x)\leq 0$ pour tout $x\in I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ .
Si $f'(x)>0$ sur $I$ , sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ (de même pour la décroissance stricte).
Réciproquement, si $f$ est croissante (resp. décroissante) sur $I$ , alors $f'(x)\geq0$ (resp. $f'(x)\leq0$ ) pour tout $x\in I$ .
$f$ est constante sur $I$ si, et seulement si, $f'(x)=0$ pour tout $x\in I$ .

Remarque. Le mot intervalle est essentiel : $x\mapsto\frac1x$ a une dérivée négative sur $\intoo{-\infty}{0}$ et sur $\intoo{0}{+\infty}$ , mais elle n’est pas décroissante sur la réunion de ces deux intervalles.

2Extremums

Définition. $f$ admet un maximum local en $a$ s’il existe un intervalle ouvert contenant $a$ sur lequel $f(x)\leq f(a)$ ; on définit de même un minimum local. Un extremum est global sur $I$ si l’inégalité vaut pour tout $x$ de $I$ .

Théorème. Si $f$ , dérivable sur $I$ , admet un extremum local en un réel $a$ intérieur à $I$ (pas en une borne), alors $f'(a)=0$ : la tangente en ce point est horizontale.

Propriété — réciproque partielle. Si $f'$ s’annule en $a$ en changeant de signe, alors $f(a)$ est un extremum local. Si $f'$ s’annule sans changer de signe, il n’y a pas d’extremum : pour $f(x)=x^3$ , $f'(0)=0$ mais $f$ est strictement croissante sur $\R$ .

3Étudier une fonction et dresser son tableau de variations

Méthode — les quatre étapes. 1. préciser l’intervalle d’étude ; 2. calculer $f'(x)$ et la factoriser ; 3. étudier le signe de $f'(x)$ (signe d’un produit, d’un trinôme) ; 4. dresser le tableau de variations en indiquant les valeurs de $f$ aux bornes et aux extremums.

Remarque. Un tableau de variations permet ensuite de comparer des images, de déterminer le nombre de solutions d’une équation $f(x)=k$ , ou de justifier une inégalité. On admet que la courbe d’une fonction dérivable se trace « sans lever le crayon » : sur un intervalle où $f$ est strictement monotone, elle prend une fois et une seule chaque valeur comprise entre ses valeurs aux bornes.

Figure 1 — Tableau de variations de $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ sur $\intff{-3}{5}$ , avec $f'(x)=3(x+1)(x-3)$ .

4Optimisation, inégalités et position relative de deux courbes

Méthode — problème d’optimisation. choisir la variable et l’intervalle où elle varie, exprimer la grandeur à optimiser (aire, volume, coût, bénéfice) en fonction de cette variable, dériver, dresser le tableau de variations et conclure en revenant à la question posée.

Méthode — inégalité ou position relative. pour comparer $f$ et $g$ sur $I$ , étudier la fonction différence $d=f-g$ : là où $d(x)>0$ , la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ ; là où $d(x)<0$ , elle est en dessous ; $d(x)=0$ donne les points d’intersection.

Remarque. Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ , la dérivée $f'(x)=2ax+b$ s’annule en $-\frac{b}{2a}$ en changeant de signe : on retrouve le sommet de la parabole et l’extremum vus au chapitre 1. En algorithmique, la méthode de Newton approche une solution de $f(x)=0$ en remplaçant, à chaque étape, la courbe par sa tangente.

5Fonctions paires et fonctions impaires

Définition. Soit $f$ définie sur un ensemble $\mathcal{D}$ symétrique par rapport à $0$ (si $x\in\mathcal{D}$ , alors $-x\in\mathcal{D}$ ).

$f$ est paire si $f(-x)=f(x)$ pour tout $x\in\mathcal{D}$ : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
$f$ est impaire si $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x\in\mathcal{D}$ : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Méthode — montrer une parité. vérifier d’abord que $\mathcal{D}$ est symétrique, puis calculer $f(-x)$ et le comparer à $f(x)$ et à $-f(x)$ . Pour prouver que $f$ n’est pas paire (ou pas impaire), un contre-exemple suffit : un réel $a$ tel que $f(-a)\neq f(a)$ (ou $f(-a)\neq-f(a)$ ) ; souvent, le même réel règle les deux cas.

6Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Déduire le sens de variation d’une fonction du signe de sa dérivée et dresser un tableau de variations complet.
Déterminer les extremums locaux et globaux d’une fonction sur un intervalle.
Exploiter un tableau de variations : comparer des images, encadrer $f$ , dénombrer les solutions de $f(x)=k$ .
Résoudre un problème d’optimisation (aire, volume, coût, bénéfice) en revenant au contexte.
Établir une inégalité ou étudier la position relative de deux courbes par la fonction différence.
Reconnaître et démontrer qu’une fonction est paire ou impaire, et en déduire une symétrie de sa courbe.

7Exemples types

Exempleétude complète

Soit $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ sur $\intff{-3}{5}$ . Alors $f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$ , positive à l’extérieur des racines. D’où le tableau de la figure 1 : $f$ admet un maximum local $f(-1)=10$ , un minimum local $f(3)=-22$ ; sur $\intff{-3}{5}$ , son maximum est $10$ et son minimum $-22$ .

Exempleoptimisation

Dans un carré de carton de ${12\,\mathrm{cm}}$ de côté, on découpe aux quatre coins des carrés de côté $x$ , puis on relève les bords : le volume de la boîte obtenue est $V(x)=x(12-2x)^2$ pour $x\in\intoo{0}{6}$ . En développant, $V(x)=4x^3-48x^2+144x$ , donc $V'(x)=12x^2-96x+144=12(x-2)(x-6)$ ; comme $x-6<0$ sur $\intoo{0}{6}$ , $V'(x)$ est du signe de $2-x$ : $V$ croît sur $\intof{0}{2}$ puis décroît sur $\intfo{2}{6}$ . Le volume est maximal pour $x=2$ et vaut $V(2)=2\times 8^2={128\,\mathrm{cm}^{3}}$ .

Exempleinégalité

Montrons que $x+\dfrac1x\geq 2$ pour tout $x>0$ . Posons $f(x)=x+\frac1x$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ : $f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}$ , du signe de $x^2-1$ . Donc $f$ décroît sur $\intof{0}{1}$ et croît sur $\intfo{1}{+\infty}$ : son minimum est $f(1)=2$ , d’où l’inégalité.

Exempleparité

$f(x)=x^4-3x^2$ est définie sur $\R$ et $f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2=x^4-3x^2=f(x)$ : $f$ est paire. $g(x)=x^3-5x$ vérifie $g(-x)=-x^3+5x=-g(x)$ : $g$ est impaire. $h(x)=x^2+x$ n’est ni l’un ni l’autre, car $h(-1)=0$ alors que $h(1)=2$ .

Pièges

Le théorème ne s’applique que sur un intervalle : ne jamais écrire « décroissante sur $\intoo{-\infty}{0}\cup\intoo{0}{+\infty}$ ».
$f'(a)=0$ n’assure pas un extremum : il faut que $f'$ change de signe en $a$ ( $x\mapsto x^3$ en $0$ ).
Ne pas confondre le signe de $f'$ et celui de $f$ : une fonction croissante peut être négative.
Un extremum atteint à une borne de l’intervalle n’annule pas forcément la dérivée.
Dans un problème d’optimisation, ne pas oublier l’intervalle de variation et la réponse en langue française (dimensions, prix…).
Pour la parité, vérifier d’abord la symétrie de l’ensemble de définition : $\sqrt{x}$ n’est ni paire ni impaire, faute de domaine symétrique.

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Exercices, contrôles et sujets

Les énoncés sont en accès libre, à télécharger en PDF.

Exercices de base

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Les bases : signe de la dérivée et variations, tableaux de variations, extremums, parité

7 exercicesniveau Difficulté 1 sur 3durée conseillée : 1 h 30sans calculatrice

Du signe de la dérivée au sens de variationDifficulté 1 sur 3
Lire un tableau de variationsDifficulté 1 sur 3
Une fonction polynôme de degré 3Difficulté 1 sur 3
Paire, impaire, ou ni l’un ni l’autre ?Difficulté 1 sur 3
Compléter une courbe par symétrieDifficulté 1 sur 3
Dérivée nulle, extremum, fonction constanteDifficulté 2 sur 3
Lire le signe de la dérivée sur une courbeDifficulté 2 sur 3

Exercices d'application

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Application : lire la courbe de $f'$ , une boîte sans couvercle, coût moyen et bénéfice, inégalités et positions relatives, méthode de Newton

5 exercicesniveau Difficulté 2 sur 3durée conseillée : 2 hcalculatrice autorisée (exercice 5)

Ce n’est pas la courbe de $f$ , c’est celle de $f'$ !Difficulté 2 sur 3
La boîte sans couvercleDifficulté 2 sur 3
Coût moyen et bénéfice d’un fabricant de lampesDifficulté 2 sur 3
Inégalités et positions relativesDifficulté 2 sur 3
La méthode de Newton pour approcher $\sqrt2$ Difficulté 2 sur 3

Contrôle A

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QCM, étude d’une fonction polynôme, une fonction rationnelle impaire, rectangle sous une parabole

Durée : 1 hsans calculatrice4 exercices indépendantsbarème sur 20

Questionnaire à choix multiples5 ptsDifficulté 1 sur 3
Étude d’une fonction polynôme de degré 35 ptsDifficulté 1 sur 3
Une fonction rationnelle impaire5 ptsDifficulté 2 sur 3
Un rectangle sous une parabole5 ptsDifficulté 2 sur 3

Contrôle B

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Vrai ou faux, associer les courbes de $f$ et de $f'$ , le point d’une route le plus proche, un aquarium économique

Durée : 1 hsans calculatrice4 exercices indépendantsbarème sur 20

Vrai ou faux ?5 ptsDifficulté 2 sur 3
Associer les courbes de $f$ et de $f'$ 4 ptsDifficulté 2 sur 3
Le point d’une route le plus proche5 ptsDifficulté 2 sur 3
Un aquarium économique6 ptsDifficulté 3 sur 3

Approfondissement

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Pour aller plus loin : extremum et dérivée nulle, parité et dérivation, inégalités de tangente, cylindre dans une sphère, équations du troisième degré, méthode de Newton

6 exercicesniveau Difficulté 3 sur 3durée conseillée : 3 hcalculatrice autorisée (exercice 6)

Démonstration : un extremum local annule la dérivéeDifficulté 3 sur 3
Parité et dérivationDifficulté 3 sur 3
Inégalités de tangenteDifficulté 3 sur 3
Le plus grand cylindre dans une sphèreDifficulté 3 sur 3
Combien de solutions pour une équation du troisième degré ?Difficulté 3 sur 3
La méthode de Newton pour une équation du troisième degréDifficulté 3 sur 3

Type épreuve anticipée

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Partie 1 : douze questions d’automatismes — Partie 2 : étude d’une fonction rationnelle, les adhérents d’un club, la vitesse la plus économique

Durée : 2 hsans calculatriceQCM et 3 exercicesbarème sur 20

Questionnaire à choix multiples6 ptsDifficulté 1 sur 3
Étude d’une fonction rationnelle5 ptsDifficulté 2 sur 3
Les adhérents d’un club4 ptsDifficulté 2 sur 3
La vitesse la plus économique5 ptsDifficulté 2 sur 3