Variables aléatoires : cours de Première et exercices

1Variable aléatoire et loi de probabilité

Définition. Une variable aléatoire $X$ définie sur un univers fini $\Omega$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de l’expérience aléatoire.

Notation. Pour un réel $a$ , $\{X=a\}$ est l’événement « $X$ prend la valeur $a$ » ; on note $P(X=a)$ sa probabilité. De même $\{X\leq a\}$ , $\{X<a\}$ , $\{X\geq a\}$ , et $P(X\leq a)$ est la somme des $P(X=x_{i})$ pour les valeurs $x_{i}$ inférieures ou égales à $a$ .

Définition. La loi de probabilité de $X$ est la donnée des valeurs $x_{1},\dots,x_{n}$ prises par $X$ et des probabilités $p_{i}=P(X=x_{i})$ ; on la présente dans un tableau. On a toujours $p_{1}+p_{2}+\dots+p_{n}=1$ .

Méthode — déterminer une loi. Repérer les valeurs prises par $X$ ; pour chacune, décrire l’événement correspondant et calculer sa probabilité (dénombrement, tableau croisé, arbre pondéré) ; vérifier enfin que la somme des probabilités vaut $1$ . La loi se visualise par un diagramme en bâtons.

2Espérance, variance, écart type

Définition. L’espérance de $X$ est le nombre

E(X)=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\dots+p_{n}x_{n}.

C’est la moyenne des valeurs de $X$ pondérées par leurs probabilités : sur un très grand nombre de répétitions de l’expérience, la moyenne des valeurs observées se rapproche de $E(X)$ .

Définition. La variance et l’écart type de $X$ sont

V(X)=\sum_{i=1}^{n}p_{i}\bigl(x_{i}-E(X)\bigr)^{2}\ \geq0,\qquad \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.

Ils mesurent la dispersion des valeurs de $X$ autour de $E(X)$ ; $\sigma(X)$ s’exprime dans la même unité que $X$ .

Théorème — formule de König-Huygens. $V(X)=E\!\left(X^{2}\right)-E(X)^{2}$ , où $E\!\left(X^{2}\right)=p_{1}x_{1}^{2}+\dots+p_{n}x_{n}^{2}$ . C’est la formule à utiliser pour les calculs.

Figure 1 — Diagramme en bâtons de la loi du nombre de succès de $3$ épreuves de Bernoulli de paramètre $p=0{,}8$ .

Propriété — linéarité. Pour tous réels $a$ et $b$ :

E(aX+b)=a\,E(X)+b,\qquad V(aX+b)=a^{2}V(X),\qquad \sigma(aX+b)=\abs{a}\,\sigma(X).

Ajouter $b$ décale l’espérance mais ne change pas la dispersion ; multiplier par $a$ multiplie l’écart type par $\abs a$ .

Méthode — calculer $E$ , $V$ et $\sigma$ . Dresser le tableau de la loi, puis ajouter une ligne $p_{i}x_{i}$ et une ligne $p_{i}x_{i}^{2}$ : leurs sommes donnent $E(X)$ et $E\!\left(X^{2}\right)$ , d’où $V(X)$ par König-Huygens, puis $\sigma(X)$ .

3Nombre de succès, jeux, échantillons

Définition. Un jeu est équitable lorsque l’espérance du gain algébrique $G$ du joueur est nulle : $E(G)=0$ . Si $E(G)>0$ , le jeu est favorable au joueur ; si $E(G)<0$ , il lui est défavorable. Le gain algébrique tient compte de la mise.

Propriété — nombre de succès. On répète $n$ fois ( $n\leq4$ ), de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ , et on note $X$ le nombre de succès. La loi de $X$ s’obtient avec l’arbre : $P(X=k)$ est le nombre de chemins à $k$ succès, multiplié par $p^{k}(1-p)^{n-k}$ .

Remarque — simulation. Un échantillon de taille $n$ est la liste des valeurs obtenues en répétant $n$ fois l’expérience de façon indépendante ; sa moyenne $M$ varie d’un échantillon à l’autre, mais s’écarte rarement de $\mu=E(X)$ de plus de $\dfrac{2\sigma}{\sqrt n}$ , où $\sigma=\sigma(X)$ : plus $n$ est grand, plus $M$ est proche de $\mu$ .

Remarque — algorithme. La fonction esperance_variance reçoit la liste des valeurs et celle des probabilités, et renvoie l’espérance et la variance de la loi ; la fonction moyenne_echantillon simule un échantillon de taille $n$ du lancer d’un dé équilibré et en renvoie la moyenne.

def esperance_variance(x, p):
    e = sum(p[i] * x[i] for i in range(len(x)))
    e2 = sum(p[i] * x[i] ** 2 for i in range(len(x)))
    return e, e2 - e ** 2

from random import randint
def moyenne_echantillon(n):
    s = 0
    for i in range(n):
        s = s + randint(1, 6)
    return s / n

4Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Modéliser une situation par une variable aléatoire ; interpréter et utiliser les notations $\{X=a\}$ et $P(X\leq a)$ .
Déterminer la loi de probabilité de $X$ et la représenter par un diagramme en bâtons.
Calculer $E(X)$ , $V(X)$ (par König-Huygens) et $\sigma(X)$ , et les interpréter.
Utiliser la linéarité pour passer de $X$ à $aX+b$ (changement d’unité, gain net, bénéfice).
Étudier un jeu (équitable ou non), comparer deux stratégies ; déterminer la loi du nombre de succès de $n\leq4$ épreuves de Bernoulli.

5Exemples types

Exempleloi, espérance et variance

Un joueur lance un dé équilibré ; son gain algébrique $X$ , en euros, vaut $10$ si le résultat est $6$ , et $-2$ sinon. Loi : $P(X=10)=\frac16$ , $P(X=-2)=\frac56$ . Alors $E(X)=\frac{10}{6}-\frac{10}{6}=0$ : le jeu est équitable. De plus $E\!\left(X^{2}\right)=\frac{100}{6}+\frac{4\times5}{6}=20$ , donc $V(X)=20-0^{2}=20$ et $\sigma(X)=2\sqrt5\approx4{,}47$ .

Exemplelinéarité

Une température $X$ en degrés Celsius vérifie $E(X)=18$ et $\sigma(X)=5$ . En degrés Fahrenheit, $Y=1{,}8X+32$ : $E(Y)=1{,}8\times18+32=64{,}4$ , $V(Y)=1{,}8^{2}\times25=81$ et $\sigma(Y)=1{,}8\times5=9$ .

Exemplenombre de succès

Un joueur marque chaque lancer franc avec la probabilité $0{,}8$ et en tire $3$ , de façon indépendante ; $X$ est le nombre de paniers. L’arbre donne $P(X=0)=0{,}2^{3}=0{,}008$ , $P(X=1)=3\times0{,}8\times0{,}2^{2}=0{,}096$ , $P(X=2)=3\times0{,}8^{2}\times0{,}2=0{,}384$ et $P(X=3)=0{,}8^{3}=0{,}512$ (somme $1$ ). Alors $E(X)=0{,}096+2\times0{,}384+3\times0{,}512=2{,}4$ paniers en moyenne.

Exemplejeu équitable

Un jeu coûte $2$ euros : on tire une carte d’un jeu de $32$ cartes ; un as rapporte $6$ euros, une figure $2$ euros, les autres cartes rien. Le gain brut $X$ vérifie $P(X=6)=\frac{4}{32}=\frac18$ , $P(X=2)=\frac{12}{32}=\frac38$ et $P(X=0)=\frac12$ , donc $E(X)=\frac68+\frac68=1{,}5$ . Le gain algébrique est $G=X-2$ , d’espérance $E(G)=1{,}5-2=-0{,}5$ : le jeu est défavorable au joueur, qui perd en moyenne $0{,}50$ euro par partie. Il serait équitable pour une mise de $1{,}50$ euro.

Pièges

Vérifier systématiquement que la somme des probabilités de la loi vaut $1$ ; une probabilité négative ou supérieure à $1$ signale une erreur.
$E(X)$ n’est pas toujours une valeur prise par $X$ (ici $2{,}4$ paniers) : c’est une moyenne, pas un résultat possible.
Dans $V(X)=E\!\left(X^{2}\right)-E(X)^{2}$ , $E\!\left(X^{2}\right)$ se calcule avec les $x_{i}^{2}$ et les mêmes $p_{i}$ ; ce n’est pas $E(X)^{2}$ .
$V(aX+b)=a^{2}V(X)$ : le $b$ disparaît et le $a$ est au carré ; pour l’écart type, c’est $\abs a$ , jamais $a$ s’il est négatif.
Un jeu équitable se juge sur le gain algébrique (mise déduite), et non sur le montant reçu.

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Variables aléatoires

1Variable aléatoire et loi de probabilité

2Espérance, variance, écart type

3Nombre de succès, jeux, échantillons

4Savoir-faire du chapitre

5Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Type épreuve anticipée

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