Trigonométrie : cours de Première et exercices

1Cercle trigonométrique et radian

Définition. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre l’origine $O$ d’un repère orthonormé et de rayon $1$ , orienté dans le sens direct (sens contraire des aiguilles d’une montre).

Définition. Le radian est l’unité d’angle telle qu’un angle au centre de $1$ rad intercepte, sur un cercle de rayon $r$ , un arc de longueur $r$ . Comme un demi-tour correspond à un demi-périmètre : $\pi$ rad $={180^{\circ}}$ .

Propriété. La conversion degrés $\leftrightarrow$ radians est une proportionnalité : $\dfrac{\alpha\ (\text{degrés})}{180}=\dfrac{x\ (\text{radians})}{\pi}$ . Sur un cercle de rayon $r$ , un angle au centre de $\theta$ rad ( $\theta\geq0$ ) intercepte un arc de longueur $\ell=r\theta$ et délimite un secteur d’aire $\mathcal A=\frac12r^{2}\theta$ .

2Enroulement de la droite des réels

Définition. En enroulant la droite des réels autour du cercle trigonométrique à partir du point $I(1\,;0)$ — sens direct pour les réels positifs, sens indirect pour les négatifs — on associe à tout réel $x$ un unique point $M$ du cercle : son image.

Propriété. Deux réels ont la même image si, et seulement si, leur différence est un multiple de $2\pi$ : les réels d’image $M$ sont les $x+2k\pi$ , $k\in\Z$ , et un seul d’entre eux appartient à $\intof{-\pi}{\pi}$ : la mesure principale.

Méthode — déterminer une mesure principale. Retrancher (ou ajouter) au réel autant de fois $2\pi$ que nécessaire pour obtenir un réel de $\intof{-\pi}{\pi}$ . Avec $x=\frac{p\pi}{q}$ , cela revient à modifier $p$ de multiples de $2q$ .

3Cosinus et sinus d’un réel

Définition. Si $M$ est l’image du réel $x$ sur le cercle trigonométrique, alors $M$ a pour coordonnées $(\cos x\,;\sin x)$ : l’abscisse de $M$ est le cosinus de $x$ , son ordonnée est le sinus de $x$ .

Propriété. Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $k$ :

-1\leq\cos x\leq1,\quad -1\leq\sin x\leq1,\quad \cos^{2}x+\sin^{2}x=1,

\cos(x+2k\pi)=\cos x,\qquad \sin(x+2k\pi)=\sin x.

Remarque. Pour $x\in\intoo{0}{\frac{\pi}{2}}$ , on retrouve le triangle rectangle : $\cos x=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ , $\sin x=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ . Le point du cercle de centre $O$ et de rayon $R$ associé à $x$ a pour coordonnées $(R\cos x\,;R\sin x)$ .

Méthode — calculer $\cos x$ connaissant $\sin x$ . Utiliser $\cos^{2}x=1-\sin^{2}x$ , puis choisir le signe de $\cos x$ d’après le quadrant où se situe l’image de $x$ .

Figure 1 — Le point $M$ , image de $x$ , a pour coordonnées $(\cos x\,;\sin x)$ .

FormulaireLes valeurs remarquables

$x$ (rad)	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$x$ (degrés)	${0^{\circ}}$	${30^{\circ}}$	${45^{\circ}}$	${60^{\circ}}$	${90^{\circ}}$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
$\sin x$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

4Angles associés

Propriété. Les images de $-x$ , de $\pi-x$ et de $\pi+x$ sont les symétriques de celle de $x$ par rapport à l’axe des abscisses, à l’axe des ordonnées et au point $O$ . D’où, pour tout réel $x$ :

\begin{array}{lll} \cos(-x)=\cos x, & \cos(\pi-x)=-\cos x, & \cos(\pi+x)=-\cos x,\\[0.6mm] \sin(-x)=-\sin x, & \sin(\pi-x)=\sin x, & \sin(\pi+x)=-\sin x. \end{array}

L’image de $\frac{\pi}{2}-x$ est le symétrique de celle de $x$ par rapport à la droite d’équation $y=x$ : $\ \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$ et $\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$ .

Méthode — valeur exacte. Déterminer la mesure principale, placer l’image sur le cercle, reconnaître la symétrie qui la relie à un angle remarquable du premier quadrant, lire le signe sur la figure.

Figure 2 — Les trois symétries du cercle.

5Équations $\cos x=a$ et $\sin x=a$

Méthode — résoudre sur le cercle. Si $a\notin\intff{-1}{1}$ , pas de solution. Sinon, tracer la droite d’équation $x=a$ (cosinus) ou $y=a$ (sinus) : elle coupe le cercle en deux points (un seul si $a=\pm1$ ), dont on lit les réels associés ; on ne garde ensuite que les solutions de l’intervalle demandé.

Propriété. Si $x_{0}$ est une solution : $\cos x=a\ssi x=x_{0}+2k\pi$ ou $x=-x_{0}+2k\pi$ ; $\sin x=a\ssi x=x_{0}+2k\pi$ ou $x=\pi-x_{0}+2k\pi$ ( $k\in\Z$ ).

6Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Convertir une mesure d’angle des degrés aux radians et inversement ; calculer une longueur d’arc.
Placer l’image d’un réel sur le cercle trigonométrique ; déterminer la mesure principale d’un réel.
Donner les valeurs exactes du cosinus et du sinus d’un angle remarquable ou d’un angle associé.
Utiliser $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ pour calculer $\cos x$ connaissant $\sin x$ , en justifiant le signe.
Résoudre graphiquement sur le cercle une équation $\cos x=a$ ou $\sin x=a$ sur un intervalle donné.

7Exemples types

Exemplemesure principale et angle associé

Comme $\dfrac{25\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}+2\times2\pi$ , la mesure principale de $\dfrac{25\pi}{6}$ est $\dfrac{\pi}{6}$ : $\cos\dfrac{25\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\dfrac{25\pi}{6}=\dfrac12$ . De même $\dfrac{3\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}$ , dont l’image est dans le deuxième quadrant : $\cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ (négatif) et $\sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ (positif).

Exempleutiliser

\cos^{2}x+\sin^{2}x=1

Soit $x\in\intoo{-\frac{\pi}{2}}{0}$ tel que $\cos x=\frac35$ . Alors $\sin^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ , donc $\sin x=\pm\frac45$ ; l’image de $x$ est dans le quatrième quadrant, où le sinus est négatif : $\sin x=-\frac45$ .

Exempleéquation

Résoudre $\sin x=\frac12$ sur $\intff{0}{2\pi}$ . La droite d’équation $y=\frac12$ coupe le cercle aux images de $\frac{\pi}{6}$ et de $\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$ : $\mathcal S=\left\{\frac{\pi}{6}\,;\frac{5\pi}{6}\right\}$ .

Pièges

Un réel n’est pas un angle en degrés : $2$ rad $\approx{114{,}6^{\circ}}$ , donc $\cos 2$ n’a rien à voir avec $\cos{2^{\circ}}$ .
$\cos^{2}x$ signifie $(\cos x)^{2}$ , et non $\cos\!\left(x^{2}\right)$ ; de même, $\cos(\pi-x)\neq\cos\pi-\cos x$ . En passant de $\cos^{2}x=k$ à $\cos x$ , deux valeurs sont possibles : le signe se décide en repérant le quadrant.
Une équation $\cos x=a$ avec $-1\leq a\leq1$ a deux solutions sur un tour (sauf si $a=\pm1$ ) : ne pas en oublier une.

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Trigonométrie

1Cercle trigonométrique et radian

2Enroulement de la droite des réels

3Cosinus et sinus d’un réel

4Angles associés

5Équations $\cos x=a$ et $\sin x=a$

6Savoir-faire du chapitre

7Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Type épreuve anticipée

Première · Mathématiques : les 13 chapitres

Trigonométrie

1Cercle trigonométrique et radian

2Enroulement de la droite des réels

3Cosinus et sinus d’un réel

4Angles associés

5Équations cos⁡x=a\cos x=a et sin⁡x=a\sin x=a

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Exercices de base

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Première · Mathématiques : les 13 chapitres

5Équations $\cos x=a$ et $\sin x=a$