Fonction exponentielle

1Définition et notation

Définition. Il existe une unique fonction dérivable sur $\R$, appelée fonction exponentielle et notée $\exp$, telle que

(existence et unicité admises).

Notation. On pose $\e=\exp(1)\approx 2{,}718$ et, pour tout réel $x$, $\exp(x)=\e^{x}$. Ainsi $\e^{0}=1$ et $\e^{1}=\e$.

Propriété. Pour tout réel $x$, $\e^{x}>0$ : la fonction exponentielle ne s’annule jamais et sa courbe est entièrement située au-dessus de l’axe des abscisses. De plus, $\e^{x}\times\e^{-x}=1$ : $\e^{x}$ et $\e^{-x}$ sont inverses l’un de l’autre.

2Règles de calcul

Propriété — relation fonctionnelle. Pour tous réels $x$ et $y$ : $\ \e^{x+y}=\e^{x}\times\e^{y}$. On en déduit :

Méthode — transformer une expression. Tout ramener à des sommes d’exposants : un produit devient une somme, un quotient une différence, une puissance un produit. Pour factoriser, mettre en facteur l’exponentielle de plus petit exposant ; $\e^{x}$ étant non nul, on peut toujours diviser par $\e^{x}$.

3Étude de la fonction exponentielle

Propriété — lien avec les suites géométriques. Pour tout réel $a$, la suite de terme général $u_{n}=\e^{an}$ est géométrique de raison $\e^{a}$ et de premier terme $u_{0}=1$, car $u_{n+1}=\e^{a}\times u_{n}$. Plus généralement, si $f(t)=C\,\e^{kt}$, alors $f(t+h)=\e^{kh}\times f(t)$ : sur des durées égales, la grandeur est multipliée par un même coefficient.

4Équations et inéquations

Propriété. La stricte croissance de $\exp$ donne, pour tous réels $a$ et $b$ : $\ \e^{a}=\e^{b}\ssi a=b$ et $\e^{a}<\e^{b}\ssi a<b$. De plus $\e^{x}=k$ n’a aucune solution si $k\leq0$.

Méthode — équations et inéquations. Écrire les deux membres sous la forme $\e^{\text{expression}}$, puis identifier ou comparer les exposants. Si l’inconnue apparaît en $\e^{x}$ et en $\e^{2x}$, poser $X=\e^{x}$ avec la condition $X>0$, résoudre en $X$, puis revenir à $x$ en ne gardant que les racines strictement positives.

5Dérivation et fonctions $t\mapsto\e^{kt}$

Propriété. Pour tout réel $a$, la fonction $t\mapsto\e^{at}$ est dérivable sur $\R$ et sa dérivée est $t\mapsto a\,\e^{at}$. Avec les opérations usuelles : $\left(u\,\e^{x}\right)'=(u'+u)\,\e^{x}$, par exemple $\bigl((ax+b)\e^{x}\bigr)'=(ax+a+b)\,\e^{x}$.

Méthode — étudier le signe d’une dérivée. Dans une expression du type $P(x)\,\e^{kx}$, le facteur $\e^{kx}$ est toujours strictement positif : le signe ne dépend que de celui de $P(x)$.

Propriété — croissance et décroissance exponentielles. Soit $k>0$ et $C>0$. La fonction $t\mapsto C\,\e^{kt}$ est strictement croissante (croissance exponentielle) ; $t\mapsto C\,\e^{-kt}$ est strictement décroissante, vaut $C$ en $t=0$ et se rapproche de $0$ : modèle d’une désintégration radioactive, d’un refroidissement, de l’élimination d’un médicament.

Remarque. Algorithmes du chapitre : méthode d’Euler ($y_{n+1}=y_{n}+h\,y_{n}$, $y_{0}=1$, d’après $f(t+h)\approx f(t)+h\,f'(t)$) ; valeurs approchées de $\e$ par $\left(1+\frac1n\right)^{n}$.

6Savoir-faire du chapitre

7Exemples types