Géométrie repérée : cours de Première et exercices

Dans toute la fiche, le plan est muni d’un repère orthonormé $\left(O\,;\vv\imath,\vv\jmath\right)$ .

1Vecteur normal et équation cartésienne d’une droite

Définition. Un vecteur $\vv n\neq\vv 0$ est normal à une droite $d$ lorsqu’il est orthogonal à un vecteur directeur de $d$ .

Propriété. La droite passant par $A$ et de vecteur normal $\vv n$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\vect{AM}\cdot\vv n=0$ .

Théorème. Si $\vv n\,(a\,;b)$ est normal à $d$ , alors $d$ admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ (avec $(a\,;b)\neq(0\,;0)$ ). Réciproquement, la droite d’équation $ax+by+c=0$ admet $\vv n\,(a\,;b)$ pour vecteur normal et $\vv u\,(-b\,;a)$ pour vecteur directeur.

Propriété. Si $b\neq0$ , l’équation $ax+by+c=0$ équivaut à l’équation réduite $y=-\frac ab\,x-\frac cb$ ; si $b=0$ , la droite est parallèle à l’axe des ordonnées. Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs normaux sont colinéaires, et perpendiculaires si, et seulement si, leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Figure 1 — $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $d$ : $\vect{AH}$ est colinéaire à $\vv n$ et $d(A,d)=AH$ .

Méthode — déterminer une équation cartésienne. Connaissant un point $A\,(x_{A}\,;y_{A})$ et un vecteur normal $\vv n\,(a\,;b)$ : écrire $\vect{AM}\cdot\vv n=0$ , c’est-à-dire $a(x-x_{A})+b(y-y_{A})=0$ , puis développer. On peut aussi partir de $ax+by+c=0$ et déterminer $c$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ .

FormulaireLes droites classiques d’une configuration

Hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$ : droite passant par $A$ et de vecteur normal $\vect{BC}$ .
Médiatrice de $[AB]$ : droite passant par le milieu de $[AB]$ et de vecteur normal $\vect{AB}$ ; c’est l’ensemble des points $M$ tels que $MA=MB$ .
Tangente au cercle de centre $\Omega$ en un point $T$ du cercle : droite passant par $T$ et de vecteur normal $\vect{\Omega T}$ .

2Projeté orthogonal et distance d’un point à une droite

Définition. Le projeté orthogonal d’un point $A$ sur une droite $d$ est l’unique point $H$ de $d$ tel que $\vect{AH}$ soit orthogonal à un vecteur directeur de $d$ (autrement dit, colinéaire à un vecteur normal de $d$ ).

Propriété. $H$ est le point de $d$ le plus proche de $A$ : pour tout point $M$ de $d$ , $AM\geq AH$ . La distance du point $A$ à la droite $d$ est $d(A,d)=AH$ .

Méthode — calculer les coordonnées de $H$ . Écrire l’équation de la droite $d'$ passant par $A$ et de vecteur normal un vecteur directeur de $d$ (c’est la perpendiculaire à $d$ passant par $A$ ), puis résoudre le système formé par les équations de $d$ et de $d'$ . La distance $d(A,d)$ s’obtient ensuite en calculant la longueur $AH$ .

3Cercles

Propriété. Le cercle de centre $\Omega\,(x_{0}\,;y_{0})$ et de rayon $r>0$ est l’ensemble des points $M\,(x\,;y)$ tels que $\Omega M=r$ , c’est-à-dire

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.

Propriété — cercle de diamètre $[AB]$ . C’est l’ensemble des points $M$ tels que $\vect{MA}\cdot\vect{MB}=0$ , ce qui s’écrit, avec les coordonnées, $(x_{A}-x)(x_{B}-x)+(y_{A}-y)(y_{B}-y)=0$ . Son centre est le milieu de $[AB]$ et son rayon vaut $\frac12AB$ .

Méthode — reconnaître une équation de cercle. Devant une équation $x^{2}+y^{2}+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ , regrouper les termes en $x$ et ceux en $y$ , puis compléter les carrés : $x^{2}+\alpha x=\left(x+\frac{\alpha}{2}\right)^{2}-\frac{\alpha^{2}}{4}$ . On obtient $(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=k$ : c’est un cercle si $k>0$ , un point si $k=0$ , l’ensemble vide si $k<0$ .

Méthode — intersection d’un cercle et d’une droite parallèle à un axe. Remplacer $x$ (ou $y$ ) par sa valeur dans l’équation du cercle : on obtient une équation du second degré, qui a deux, une ou zéro solution selon que la droite est sécante, tangente ou extérieure au cercle.

Figure 2 — La tangente en $T$ est perpendiculaire au rayon $[\Omega T]$ .

4Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Lire un vecteur normal et un vecteur directeur sur une équation cartésienne, et réciproquement.
Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d’un point et d’un vecteur normal : hauteur, médiatrice, tangente à un cercle.
Étudier le parallélisme ou l’orthogonalité de deux droites ; déterminer leur point d’intersection.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite, puis la distance de ce point à la droite.
Déterminer l’équation d’un cercle, reconnaître un cercle par complétion des carrés, chercher l’intersection d’un cercle et d’une droite parallèle à un axe.

5Exemples types

Exempleéquation d’une hauteur

Soit $A\,(1\,;4)$ , $B\,(-2\,;1)$ et $C\,(4\,;3)$ . La hauteur issue de $A$ a pour vecteur normal $\vect{BC}\,(6\,;2)$ , donc une équation de la forme $6x+2y+c=0$ . Comme $A$ lui appartient : $6+8+c=0$ , d’où $c=-14$ et l’équation $6x+2y-14=0$ , soit $3x+y-7=0$ .

Exempleprojeté orthogonal

Soit $d:\ x+2y-4=0$ et $A\,(3\,;3)$ . Un vecteur directeur de $d$ est $\vv u\,(-2\,;1)$ : la perpendiculaire à $d$ passant par $A$ a pour équation $-2x+y+c=0$ avec $-6+3+c=0$ , soit $-2x+y+3=0$ , c’est-à-dire $y=2x-3$ . En reportant dans l’équation de $d$ : $5x-10=0$ , d’où $H\,(2\,;1)$ et $d(A,d)=AH=\sqrt{1+4}=\sqrt5$ .

Exemplereconnaître un cercle

$x^{2}+y^{2}-6x+4y+9=0$ s’écrit $(x-3)^{2}-9+(y+2)^{2}-4+9=0$ , soit $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=4$ : c’est le cercle de centre $\Omega\,(3\,;-2)$ et de rayon $2$ .

Exempleintersection avec une droite

Avec le cercle précédent et la droite d’équation $x=4$ : $(4-3)^{2}+(y+2)^{2}=4$ donne $(y+2)^{2}=3$ , donc $y=-2\pm\sqrt3$ : deux points d’intersection, $\left(4\,;-2+\sqrt3\right)$ et $\left(4\,;-2-\sqrt3\right)$ .

Pièges

Toutes les formules de ce chapitre supposent le repère orthonormé : sinon, pas de vecteur normal ni de distance calculable ainsi.
Ne pas échanger vecteur normal et vecteur directeur : pour $ax+by+c=0$ , $\vv n\,(a\,;b)$ est normal, $\vv u\,(-b\,;a)$ est directeur.
Une équation cartésienne n’est pas unique : $3x+y-7=0$ et $6x+2y-14=0$ décrivent la même droite.
Dans $(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}$ , le second membre est le carré du rayon, et les signes de $x_{0}$ et $y_{0}$ s’inversent dans les parenthèses.
Une équation de la forme $x^{2}+y^{2}+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ ne définit pas toujours un cercle : conclure seulement après avoir complété les carrés.

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Géométrie repérée

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3Cercles

4Savoir-faire du chapitre

5Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Type épreuve anticipée

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