Fluide au repos : cours de Première et exercices

1Décrire un fluide : deux échelles

Définition. Un fluide est un corps qui peut s’écouler : un liquide ou un gaz. À l’échelle microscopique, il est formé d’entités (atomes, molécules, ions) en agitation désordonnée permanente. À l’échelle macroscopique, on le décrit par des grandeurs mesurables : masse volumique, pression, température.

Propriété. Les grandeurs macroscopiques traduisent le comportement des entités : la température mesure l’agitation (plus $T$ est grande, plus les entités sont rapides) et la pression résulte des chocs incessants des entités sur les parois (plus ils sont nombreux et violents, plus la pression est grande).

T\ ({\mathrm{K}})=\theta\ ({{}^{\circ}\mathrm{C}})+273{,}15\qquad ;\qquad \rho=\frac{m}{V}\ ({\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{-3}})

La température absolue ne peut pas être négative : à ${0\,\mathrm{K}}$ , l’agitation serait nulle.

Remarque. Dans un gaz, les entités sont très éloignées les unes des autres (distance $\approx 10$ fois leur taille) : un gaz est peu dense et compressible. Dans un liquide, elles sont au contact : il est dense et pratiquement incompressible.

2Pression et force pressante

Définition. Un fluide au repos exerce sur toute surface plane d’aire $S$ en contact avec lui une force pressante $\vv{F}$ , perpendiculaire à la surface, orientée du fluide vers la surface, de valeur

F=P\times S\qquad (F\ \text{en }{\mathrm{N}},\ P\ \text{en }{\mathrm{Pa}},\ S\ \text{en }{\mathrm{m}^{2}})

La pression $P=F/S$ ne dépend pas de l’orientation de la surface : en un point donné du fluide, elle est la même dans toutes les directions.

Notation. Unités : ${1\,\mathrm{Pa}}={1\,\mathrm{N}{\cdot}\mathrm{m}^{-2}}$ ; ${1\,\mathrm{hPa}}={100\,\mathrm{Pa}}$ ; ${1\,\mathrm{bar}}={10^{5}\,\mathrm{Pa}}={1\,000\,\mathrm{hPa}}$ . Pression atmosphérique normale : $P_{\text{atm}}={1\,013\,\mathrm{hPa}}={1{,}013\times10^{5}\,\mathrm{Pa}}$ . Un manomètre indique souvent une surpression $\Delta P=P-P_{\text{atm}}$ , et non la pression absolue.

3Loi de Mariotte

Théorème. Pour une quantité de gaz donnée, maintenue à température constante,

P\times V=\text{constante},\qquad\text{soit}\qquad P_1V_1=P_2V_2

Le produit $P\,V$ ne dépend alors que de la quantité de gaz : si le volume est divisé par deux, la pression double. Interprétation : dans un volume deux fois plus petit, les entités heurtent deux fois plus souvent les parois.

Remarque. La loi n’est valable ni à très haute pression (les entités ne sont plus éloignées et s’attirent), ni si le gaz se liquéfie, ni si la température varie.

4Loi fondamentale de la statique des fluides

Théorème. Dans un fluide incompressible au repos, de masse volumique $\rho$ , deux points A et B d’altitudes $z_A$ et $z_B$ (axe vertical orienté vers le haut) vérifient

P_B-P_A=\rho\,g\,(z_A-z_B)\qquad (P\ \text{en }{\mathrm{Pa}},\ \rho\ \text{en }{\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{-3}},\ z\ \text{en }{\mathrm{m}},\ g={9{,}81\,\mathrm{N}{\cdot}\mathrm{kg}^{-1}})

La pression augmente quand on descend : sous une profondeur $h$ d’un liquide surmonté de l’air, $P=P_{\text{atm}}+\rho\,g\,h$ .

Propriété. Deux points d’un même fluide au repos situés à la même altitude sont à la même pression, quelle que soit la forme du récipient. La pression ne dépend donc que de la profondeur (paradoxe hydrostatique).

Méthode — résoudre un problème de statique. repérer le fluide concerné et deux points bien choisis (surface libre, où $P=P_{\text{atm}}$ ; point cherché ; ou deux points d’un même niveau dans un tube en U), puis écrire la loi entre ces deux points. Applications : plongée ( ${1\,\mathrm{bar}}$ de plus tous les ${10\,\mathrm{m}}$ d’eau), poussée sur un barrage, baromètre, tube en U pour mesurer une masse volumique.

DonnéesValeurs de référence

$g={9{,}81\,\mathrm{N}{\cdot}\mathrm{kg}^{-1}}$ • $P_{\text{atm}}={1{,}013\times10^{5}\,\mathrm{Pa}}$ • $\rho_{\text{eau}}={1{,}00\times10^{3}\,\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{-3}}$ ; $\rho_{\text{mer}}={1{,}03\times10^{3}\,\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{-3}}$ ; $\rho_{\text{air}}={1{,}2\,\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{-3}}$ ; $\rho_{\text{mercure}}={13{,}6\times10^{3}\,\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{-3}}$ • ${1\,\mathrm{L}}={1\times10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}}$ • $T({\mathrm{K}})=\theta({{}^{\circ}\mathrm{C}})+273{,}15$ .

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Distinguer descriptions microscopique et macroscopique ; interpréter pression et température à l’échelle des entités.
Convertir une température en kelvins, une pression en ${\mathrm{Pa}}$ , ${\mathrm{hPa}}$ ou ${\mathrm{bar}}$ ; distinguer pression absolue et surpression.
Calculer et représenter une force pressante sur une surface plane.
Exploiter la loi de Mariotte pour un gaz comprimé ou détendu à température constante.
Exploiter la loi fondamentale de la statique des fluides (profondeur, tube en U, barrage, plongée).
Tester une loi à partir de mesures : modélisation affine ou linéaire, comparaison à une valeur de référence avec son incertitude.

6Exemples types

Exempleforce pressante sur une vitre

Une vitre de ${1{,}20\,\mathrm{m}}$ sur ${0{,}90\,\mathrm{m}}$ a pour aire $S={1{,}08\,\mathrm{m}^{2}}$ . L’air extérieur exerce $F=P_{\text{atm}}\times S=1{,}013\times10^{5}\times1{,}08={1{,}1\times10^{5}\,\mathrm{N}}$ , soit le poids de ${11\,\mathrm{t}}$ ! La vitre ne casse pas car l’air intérieur exerce une force opposée de même valeur. Si la pression extérieure tombe à ${960\,\mathrm{hPa}}$ , l’air intérieur restant à ${1\,013\,\mathrm{hPa}}$ , la force résultante vaut $\Delta P\times S=5{,}3\times10^{3}\times1{,}08={5{,}7\times10^{3}\,\mathrm{N}}$ , dirigée vers l’extérieur.

Exempleloi de Mariotte

Une pompe bouchée contient $V_1={450\,\mathrm{mL}}$ d’air sous $P_1={1{,}0\times10^{5}\,\mathrm{Pa}}$ . On enfonce lentement le piston jusqu’à $V_2={150\,\mathrm{mL}}$ , à température constante : $P_2=\dfrac{P_1V_1}{V_2}=\dfrac{1{,}0\times10^{5}\times450}{150}={3{,}0\times10^{5}\,\mathrm{Pa}}={3{,}0\,\mathrm{bar}}$ .

Exemplepression dans l’eau

Dans une fosse d’eau douce, la surface libre A est à $P_A=P_{\text{atm}}={1{,}013\times10^{5}\,\mathrm{Pa}}$ . Au point B, à ${2{,}0\,\mathrm{m}}$ de profondeur : $P_B=P_A+\rho\,g\,h=1{,}013\times10^{5}+1{,}00\times10^{3}\times9{,}81\times2{,}0={1{,}21\times10^{5}\,\mathrm{Pa}}$ . Au fond, à ${5{,}0\,\mathrm{m}}$ : $P_C={1{,}50\times10^{5}\,\mathrm{Pa}}$ . Descendre d’un mètre ajoute $\rho\,g\times{1\,\mathrm{m}}={9{,}81\times10^{3}\,\mathrm{Pa}}$ , soit environ ${0{,}1\,\mathrm{bar}}$ .

Exempletube en U

Un tube en U ouvert contient de l’eau ; on verse dans la branche de gauche une huile non miscible, qui forme une colonne de hauteur $h_h={12{,}0\,\mathrm{cm}}$ au-dessus de la surface de séparation A. Dans l’autre branche, la surface libre de l’eau est à $h_e={11{,}0\,\mathrm{cm}}$ au-dessus du point B, situé à la même altitude que A. Ces deux points appartiennent à la même eau au repos, donc $P_A=P_B$ , d’où $\rho_h\,g\,h_h=\rho_{\text{eau}}\,g\,h_e$ et $\rho_h=\rho_{\text{eau}}\dfrac{h_e}{h_h}={917\,\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{-3}}$ .

Pièges

Oublier la pression atmosphérique au-dessus du liquide : à la profondeur $h$ , $P=P_{\text{atm}}+\rho g h$ , et non $\rho g h$ .
Employer des centimètres ou des hectopascals dans $F=P\times S$ ou dans la loi de la statique des fluides : $P$ en ${\mathrm{Pa}}$ , $S$ en ${\mathrm{m}^{2}}$ , $z$ en ${\mathrm{m}}$ , $\rho$ en ${\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{-3}}$ . (Dans $P_1V_1=P_2V_2$ , il suffit d’employer la même unité de chaque côté.)
Appliquer la loi de la statique entre deux points séparés par un autre fluide : elle ne vaut que dans un même fluide de masse volumique constante.
Croire que la pression au fond dépend de la forme ou du volume du récipient : elle ne dépend que de la profondeur.
Appliquer la loi de Mariotte en oubliant que la température doit rester constante, ou en utilisant la surpression au lieu de la pression absolue.

← Interactions fondamentales et champs Mouvement d’un système →

Fluide au repos

1Décrire un fluide : deux échelles

2Pression et force pressante

3Loi de Mariotte

4Loi fondamentale de la statique des fluides

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Devoir bilan

Première · Physique-chimie : les 18 chapitres