Arithmétique

Dans toute la fiche, les lettres $a$, $b$, $k$, $n$, $q$, $r$ désignent des nombres entiers.

1Multiples et diviseurs

Définition. $a$ est un multiple de $b$ lorsqu’il existe un entier $k$ tel que $a=kb$. On dit alors aussi que $b$ est un diviseur de $a$, que $b$ divise $a$, ou que $a$ est divisible par $b$.

Remarque. $0$ est un multiple de tout entier, et tout entier est un multiple de $1$ et de lui-même. Un entier $b$ non nul n’a qu’un nombre fini de diviseurs, mais une infinité de multiples : $\dots,-2b,-b,0,b,2b,\dots$

Propriété — à savoir démontrer. La somme et la différence de deux multiples de $a$ sont des multiples de $a$. Démonstration : si $x=ka$ et $y=k'a$, alors $x+y=(k+k')a$ et $x-y=(k-k')a$, où $k+k'$ et $k-k'$ sont des entiers. De même, si $b$ divise $a$ et $a$ divise $c$, alors $b$ divise $c$.

Remarque — rappel du collège. Un entier naturel est premier lorsqu’il a exactement deux diviseurs positifs, $1$ et lui-même : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$… ($1$ n’est pas premier). Tout entier naturel $n\geq2$ se décompose en un produit de facteurs premiers, de façon unique à l’ordre près : $360=2^3\times3^2\times5$.

2Division euclidienne

Théorème. Pour tout entier $a$ et tout entier $b>0$, il existe un unique couple d’entiers $(q\,;r)$ tel que

$q$ est le quotient et $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.

Propriété. $a$ est un multiple de $b$ si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul. Les entiers de reste $r$ dans la division par $b$ sont exactement les entiers de la forme $bk+r$.

3Nombres pairs et impairs

Définition. Un entier $n$ est pair lorsqu’il s’écrit $n=2k$ avec $k$ entier, impair lorsqu’il s’écrit $n=2k+1$. Tout entier est soit pair, soit impair, selon que le reste de sa division euclidienne par $2$ vaut $0$ ou $1$.

Propriété — à savoir démontrer. Le carré d’un entier impair est impair. Démonstration : si $n=2k+1$, alors $n^2=4k^2+4k+1=2\left(2k^2+2k\right)+1$, qui est de la forme $2k'+1$ avec $k'=2k^2+2k$ entier.

Remarque. On démontre de la même façon : la somme de deux entiers pairs est paire, la somme de deux entiers impairs est paire, le produit de deux entiers impairs est impair.

4Raisonner et démontrer

Définition. Une implication « si $P$ alors $Q$ » se note $P\Rightarrow Q$. Sa réciproque est « si $Q$ alors $P$ ». Sa contraposée est « si $Q$ est fausse, alors $P$ est fausse » : une implication et sa contraposée sont toujours vraies en même temps. Lorsque $P\Rightarrow Q$ et $Q\Rightarrow P$ sont vraies, on écrit $P\ssi Q$.

Méthode — démontrer ou réfuter. Pour démontrer qu’une propriété est vraie pour tous les entiers, on part de l’écriture générale ($n=2k$, $n=2k+1$, $a=kb$…) et on calcule. Pour démontrer qu’elle est fausse, il suffit d’un seul contre-exemple.

Propriété — un exemple de contraposée. « Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair » se démontre par contraposée : si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair (propriété du bloc 3).

5Fractions et écriture irréductible

Définition. Une fraction $\dfrac ab$ (avec $b\neq0$) est irréductible lorsque $a$ et $b$ n’ont pas d’autre diviseur commun positif que $1$.

Méthode — rendre une fraction irréductible. simplifier successivement par les diviseurs communs repérés grâce aux critères de divisibilité, jusqu’à ce qu’il n’y en ait plus ; ou décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis supprimer les facteurs communs.

Remarque. Deux fractions sont égales si, et seulement si, elles ont la même écriture irréductible à dénominateur positif. C’est la forme dans laquelle on donne tout résultat fractionnaire.

6Savoir-faire du chapitre

7Exemples types

def est_multiple(a, b):
    return a 

def plus_grand_multiple(a, b):
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m