Information chiffrée : cours de Seconde et exercices

1Proportions et pourcentages

Définition. Soit $E$ un ensemble fini de $n_{E}$ éléments et $A$ une partie de $E$ de $n_{A}$ éléments. La proportion (ou fréquence) de $A$ dans $E$ est

p=\frac{n_{A}}{n_{E}},\qquad \text{avec}\quad 0\leq p\leq1.

On l’exprime en pourcentage en la multipliant par $100$ : la proportion $0{,}28$ vaut ${28\%}$ .

Propriété. Connaissant $p$ et $n_{E}$ , on retrouve $n_{A}=p\times n_{E}$ ; connaissant $p\neq0$ et $n_{A}$ , on retrouve $n_{E}=\dfrac{n_{A}}{p}$ . Prendre ${28\%}$ d’une quantité, c’est la multiplier par $0{,}28$ .

Propriété — proportion d’une proportion. Si $A$ est une partie de $B$ et $B$ une partie de $E$ , alors

p_{A/E}=p_{A/B}\times p_{B/E}\qquad\text{(les proportions se \cle{multiplient}).}

Propriété — réunion. Si $A$ et $B$ sont deux parties de $E$ , $\ p_{A\cup B}=p_{A}+p_{B}-p_{A\cap B}$ ; en particulier $p_{A}+p_{\overline{A}}=1$ . Deux proportions ne s’additionnent donc que si les parties sont disjointes.

2Évolution : taux et coefficient multiplicateur

Définition. Une grandeur passe d’une valeur initiale $V_{I}>0$ à une valeur finale $V_{F}$ . La variation absolue est la différence $V_{F}-V_{I}$ ; la variation relative, ou taux d’évolution, et le coefficient multiplicateur (CM) sont

t=\frac{V_{F}-V_{I}}{V_{I}},\qquad\qquad \text{CM}=\frac{V_{F}}{V_{I}}=1+t,\qquad\qquad V_{F}=V_{I}\times(1+t).

Propriété. Une hausse de $x\,\%$ correspond à $t=\dfrac{x}{100}>0$ et à $\text{CM}=1+\dfrac{x}{100}$ ; une baisse de $x\,\%$ correspond à $t=-\dfrac{x}{100}<0$ et à $\text{CM}=1-\dfrac{x}{100}$ . La grandeur augmente si $\text{CM}>1$ , diminue si $\text{CM}<1$ , est inchangée si $\text{CM}=1$ .

Évolution	$+5\,\%$	$+30\,\%$	$-4\,\%$	$-60\,\%$
CM	$1{,}05$	$1{,}3$	$0{,}96$	$0{,}4$

CM	$1{,}2$	$0{,}85$	$2$	$0{,}5$
Taux	$+20\,\%$	$-15\,\%$	$+100\,\%$	$-50\,\%$

3Évolutions successives et évolution réciproque

Propriété — évolutions successives. Lorsqu’une grandeur subit deux évolutions successives de taux $t_{1}$ puis $t_{2}$ , les coefficients multiplicateurs se multiplient : le CM global vaut $(1+t_{1})(1+t_{2})$ et le taux global $t$ vérifie

1+t=(1+t_{1})\times(1+t_{2}),\qquad\text{donc}\qquad t=(1+t_{1})(1+t_{2})-1.

Pour $n$ évolutions de même taux $t_{1}$ , le CM global vaut $(1+t_{1})^{n}$ . Les taux ne s’additionnent pas.

Propriété — évolution réciproque. L’évolution qui ramène $V_{F}$ à $V_{I}$ (avec $V_{F}>0$ ) est l’évolution réciproque. Son coefficient multiplicateur est l’inverse du premier :

\text{CM}'=\frac{1}{1+t},\qquad\text{donc}\qquad t'=\frac{1}{1+t}-1,\qquad\text{et}\qquad (1+t)(1+t')=1.

Remarque. Une baisse de $x\,\%$ n’est pas annulée par une hausse de $x\,\%$ : après $-20\,\%$ puis $+20\,\%$ , le CM vaut $0{,}8\times1{,}2=0{,}96$ , soit une baisse globale de ${4\%}$ .

4Indices (hors programme — pour aller plus loin)

Définition. On choisit une valeur $V_{0}>0$ prise pour référence (année de base), à laquelle on attribue l’indice $100$ . L’indice d’une valeur $V$ est alors

I=100\times\frac{V}{V_{0}}\,,\qquad\text{et réciproquement}\qquad V=V_{0}\times\frac{I}{100}.

Propriété. L’indice $I$ se lit directement comme une évolution depuis l’année de base : $I=112$ signifie $+12\,\%$ , $I=93$ signifie $-7\,\%$ . Les indices permettent de comparer facilement les évolutions de plusieurs grandeurs exprimées dans des unités différentes.

FormulaireTout le chapitre en cinq lignes

Proportion : $p=\dfrac{n_{A}}{n_{E}}$ ; $n_{A}=p\times n_{E}$ ; $n_{E}=\dfrac{n_{A}}{p}$ ; proportion de proportion : $p=p_{1}\times p_{2}$ .
Évolution : $t=\dfrac{V_{F}-V_{I}}{V_{I}}$ ; $\text{CM}=1+t=\dfrac{V_{F}}{V_{I}}$ ; $V_{F}=V_{I}(1+t)$ ; $V_{I}=\dfrac{V_{F}}{1+t}$ .
Évolutions successives : $\text{CM}=\text{CM}_{1}\times\text{CM}_{2}$ ; $n$ fois le même taux $t_{1}$ : $\text{CM}=(1+t_{1})^{n}$ .
Évolution réciproque : $\text{CM}'=\dfrac{1}{\text{CM}}$ ; (pour aller plus loin) indice base $100$ : $I=100\times\dfrac{V}{V_{0}}$ .
Hausse de $x\,\%$ : $\times\left(1+\frac{x}{100}\right)$ . Baisse de $x\,\%$ : $\times\left(1-\frac{x}{100}\right)$ . Prendre $x\,\%$ : $\times\frac{x}{100}$ .

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Calculer une proportion, l’exprimer en pourcentage, retrouver un effectif ou un effectif total.
Calculer une proportion de proportion et une proportion sur une réunion de deux parties.
Passer du taux d’évolution au coefficient multiplicateur et inversement ; calculer $V_{F}$ , $V_{I}$ ou $t$ connaissant les deux autres.
Déterminer le taux global de deux (ou $n$ ) évolutions successives, et le taux de l’évolution réciproque.
(Pour aller plus loin) Calculer un indice base $100$ , l’interpréter comme une évolution, comparer deux séries à l’aide de leurs indices.

6Exemples types

Exempleproportion de proportion

Dans un lycée, ${62\%}$ des élèves sont demi-pensionnaires et, parmi eux, ${45\%}$ font une langue ancienne. La proportion d’élèves du lycée qui sont demi-pensionnaires et font une langue ancienne vaut $0{,}62\times0{,}45=0{,}279$ , soit ${27{,}9\%}$ .

Exempleévolutions successives

Un loyer augmente de ${35\%}$ puis diminue de ${10\%}$ . Le CM global vaut $1{,}35\times0{,}90=1{,}215$ : la hausse globale est de ${21{,}5\%}$ , et non de $35-10=25\,\%$ .

Exempleévolution réciproque

Un prix a augmenté de ${25\%}$ . Pour revenir au prix initial, il faut appliquer le CM $\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}8$ , c’est-à-dire une baisse de ${20\%}$ (et non de ${25\%}$ ).

Exempleévolution répétée et indice

Une population augmente de ${6\%}$ par an pendant $5$ ans : le CM global vaut $1{,}06^{5}\approx1{,}338$ , soit environ $+33{,}8\,\%$ (et non $5\times6=30\,\%$ ). Une autre population passe de $250$ à $290$ milliers d’habitants depuis l’année de base : l’indice vaut $100\times\dfrac{290}{250}=116$ , soit $+16\,\%$ .

Pièges

Additionner les taux d’évolutions successives : ce sont les coefficients multiplicateurs qui se multiplient.
Croire qu’une hausse de $x\,\%$ est annulée par une baisse de $x\,\%$ : l’évolution réciproque a pour CM $\frac{1}{1+t}$ .
Confondre « augmenter de ${20\%}$ » (multiplier par $1{,}2$ ) et « être égal à ${20\%}$ de » (multiplier par $0{,}2$ ).
Additionner deux proportions calculées sur des ensembles de référence différents, ou sur des parties qui se recouvrent.
Confondre une variation en points de pourcentage (de ${15\%}$ à ${18\%}$ : $+3$ points) et le taux d’évolution correspondant ( $+20\,\%$ ).

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