1Vecteurs et translations
Définition. Le vecteur est déterminé par trois données : sa direction (celle de la droite ), son sens (de vers ) et sa norme , la longueur du segment. La translation de vecteur transforme un point en l’unique point tel que .
Propriété. signifie que ces deux vecteurs ont même direction, même sens et même norme ; cela équivaut à : est un parallélogramme (éventuellement aplati). Un même vecteur possède donc une infinité de représentants.
Notation. Le vecteur nul n’a ni direction ni sens ; sa norme est nulle. L’opposé de est .
Figure 1 — : est un parallélogramme, et est l’image de par la translation de vecteur .
2Somme, différence, produit par un réel
Définition. La somme s’obtient en mettant les vecteurs « bout à bout » : relation de Chasles, . Avec la même origine, où est un parallélogramme (règle du parallélogramme). La différence est , et .
Définition. Pour réel, est le vecteur de même direction que , de même sens si , de sens contraire si , et de norme . On a si, et seulement si, ou .
Définition. Deux vecteurs et sont colinéaires lorsqu’il existe un réel tel que (ou ). Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Propriété. et sont parallèles et sont colinéaires. , , sont alignés et sont colinéaires.
3Coordonnées dans un repère
Le plan est muni d’un repère .
- ; ; .
- et : une égalité de vecteurs équivaut à deux égalités de nombres.
- Milieu de : .
- Repère orthonormé : et .
4Déterminant et colinéarité
Définition. Le déterminant des vecteurs et est le nombre .
Théorème. et sont colinéaires si, et seulement si, , c’est-à-dire (proportionnalité des coordonnées).
Méthode — démontrer un alignement ou un parallélisme. calculer les coordonnées des deux vecteurs, puis leur déterminant : s’il est nul, les points sont alignés (ou les droites parallèles) ; sinon, ils ne le sont pas. Pour conclure que deux droites parallèles sont distinctes, vérifier qu’un point de l’une n’appartient pas à l’autre.
5Base du plan et caractérisation du milieu
Propriété. Si et ne sont pas colinéaires, tout vecteur du plan s’écrit d’une seule façon avec et réels : on dit que est une base du plan, et que est une combinaison de et .
Propriété — caractérisation vectorielle du milieu. est le milieu de .
6Savoir-faire du chapitre
- Construire une somme, une différence, un multiple de vecteurs ; construire l’image d’un point ou d’une figure par une translation.
- Utiliser la relation de Chasles pour transformer une égalité vectorielle et placer un point défini par une relation.
- Calculer les coordonnées d’un vecteur, d’une somme, d’un multiple, d’un milieu ; calculer une norme et une distance en repère orthonormé.
- Calculer un déterminant et l’utiliser pour la colinéarité, l’alignement, le parallélisme, ou pour déterminer un paramètre inconnu.
- Décomposer un vecteur sur deux vecteurs non colinéaires, graphiquement puis par le calcul.
- Résoudre un problème de géométrie par la méthode vectorielle ou par la méthode repérée.
7Exemples types
Soit et dans un repère orthonormé. Alors , le milieu de est et .
, et : et . Le déterminant vaut : les points , et sont alignés. Avec , donne : , et ne sont pas alignés.
Pour placer le point tel que , on écrit : on part de , on suit , puis .
Avec et , le déterminant : est une base. Cherchons et tels que : cela donne et , d’où et .
- : ces deux vecteurs sont opposés. Et correspond au parallélogramme , pas .
- Les coordonnées de sont et : « l’arrivée moins le départ », dans cet ordre.
- La formule n’est valable que dans un repère orthonormé.
- Un déterminant nul signifie « colinéaires », donc parallèles ou confondus : l’alignement de trois points doit être conclu avec des vecteurs ayant une origine commune.
- Ne pas confondre le point et le vecteur : un point se place, un vecteur se translate.