Généralités sur les fonctions : cours de Seconde et exercices

1Fonction, image, antécédent

Définition. Définir une fonction $f$ sur un ensemble $\mathcal D$ , c’est associer à chaque réel $x$ de $\mathcal D$ un seul nombre réel, noté $f(x)$ . On écrit $f:x\mapsto f(x)$ et l’on dit que $f(x)$ est l’image de $x$ par $f$ .

Définition. Un antécédent de $k$ par $f$ est un réel $x$ de $\mathcal D$ tel que $f(x)=k$ . Chercher les antécédents de $k$ , c’est résoudre l’équation $f(x)=k$ .

Remarque. Un nombre a au plus une image, mais un nombre peut avoir zéro, un, plusieurs, voire une infinité d’antécédents. Une fonction peut être donnée par une formule, par un tableau de valeurs, par une courbe ou par un programme de calcul.

2Ensemble de définition

Définition. L’ensemble de définition $\mathcal D_f$ de $f$ est l’ensemble des réels qui ont une image par $f$ . Il est soit imposé par l’énoncé (ou par le contexte concret), soit constitué de tous les réels pour lesquels le calcul de $f(x)$ est possible.

Propriété. Deux interdits en Seconde : un dénominateur ne peut pas être nul, et l’expression sous une racine carrée ne peut pas être strictement négative.

Méthode — déterminer $\mathcal D_f$ . repérer les quotients et les racines, écrire les conditions correspondantes ( $B(x)\neq0$ , $A(x)\geq0$ ), les résoudre, puis exprimer $\mathcal D_f$ à l’aide d’intervalles.

3Courbe représentative

Définition. Dans un repère, la courbe représentative $\Cf$ de $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $\left(x\,;f(x)\right)$ pour $x$ parcourant $\mathcal D_f$ .

Propriété — appartenance. Le point $M\,(x\,;y)$ appartient à $\Cf$ si, et seulement si, $x\in\mathcal D_f$ et $y=f(x)$ .

Méthode — lire une image. se placer à l’abscisse $x$ , monter (ou descendre) jusqu’à la courbe, lire l’ordonnée : c’est $f(x)$ .

Méthode — lire les antécédents de $k$ . tracer la droite horizontale d’équation $y=k$ ; les abscisses de ses points d’intersection avec $\Cf$ sont les antécédents de $k$ . Leur nombre est le nombre de points d’intersection.

Figure 1 — Courbe de $f:x\mapsto x^2-2x-3$ sur $\intff{-2}4$ . Le nombre $-3$ a deux antécédents, $0$ et $2$ ; $-4$ en a un seul et $-5$ n’en a aucun.

4Résoudre graphiquement

Propriété. Résoudre $f(x)=k$ , c’est lire les abscisses des points de $\Cf$ situés à l’ordonnée $k$ . Résoudre $f(x)\leq k$ , c’est lire les abscisses des points de $\Cf$ situés en dessous de la droite d’équation $y=k$ ou sur cette droite ; l’ensemble des solutions s’écrit en intervalles.

Définition. Le signe de $f$ est donné par la position de $\Cf$ par rapport à l’axe des abscisses : $f(x)>0$ lorsque la courbe est au-dessus, $f(x)<0$ lorsqu’elle est en dessous. On le résume dans un tableau de signes.

Propriété — comparer deux fonctions. Les solutions de $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d’intersection de $\Cf$ et $\mathcal C_g$ . Les solutions de $f(x)\leq g(x)$ sont les abscisses des points où $\Cf$ est en dessous de $\mathcal C_g$ ou la coupe. Par le calcul, on étudie le signe de la différence $f(x)-g(x)$ .

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Calculer l’image d’un nombre, déterminer les antécédents d’un nombre par le calcul ou graphiquement.
Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction donnée par une formule, ou le lire sur une courbe.
Compléter un tableau de valeurs, placer des points et tracer une courbe ; tester l’appartenance d’un point à $\Cf$ .
Résoudre graphiquement $f(x)=k$ , $f(x)\leq k$ , $f(x)=g(x)$ , $f(x)\leq g(x)$ et donner les solutions en intervalles.
Déterminer le signe d’une fonction et dresser son tableau de signes.
Traduire un problème concret par une fonction et interpréter les résultats dans le contexte.

6Exemples types

Exempleimages et antécédents par le calcul

Soit $f(x)=x^2-2x-3$ . L’image de $-2$ est $f(-2)=4+4-3=5$ . Les antécédents de $-3$ sont les solutions de $x^2-2x-3=-3$ , soit $x^2-2x=0$ , soit $x(x-2)=0$ : ce sont $0$ et $2$ . Le nombre $-5$ n’a aucun antécédent : $f(x)=-5$ équivaut à $x^2-2x+2=0$ , or $x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0$ pour tout réel $x$ .

Exempleensemble de définition

Pour $g(x)=\dfrac{2x+1}{x-4}$ , il faut $x-4\neq0$ : $\mathcal D_g=\intoo{-\infty}4\cup\intoo4{+\infty}$ . Pour $h(x)=\sqrt{3x-6}$ , il faut $3x-6\geq0$ , soit $x\geq2$ : $\mathcal D_h=\intfo2{+\infty}$ .

Exempleappartenance à la courbe

Avec $f(x)=x^2-2x-3$ : le point $A\,(4\,;5)$ vérifie $f(4)=16-8-3=5$ , donc $A\in\Cf$ . Le point $B\,(1\,;0)$ ne convient pas, car $f(1)=-4\neq0$ .

Exemplecomparer deux fonctions

Comparons $f(x)=x^2-2x-3$ et $g(x)=x-3$ . On étudie la différence $f(x)-g(x)=x^2-3x=x(x-3)$ :

On lit : $f(x)\leq g(x)$ pour $x\in\intff03$ , et $f(x)\geq g(x)$ sur $\intof{-\infty}0$ et sur $\intfo3{+\infty}$ . Les courbes se coupent aux points d’abscisses $0$ et $3$ .

Pièges

Ne pas confondre image et antécédent : l’image se calcule ( $f(x)$ ), les antécédents se cherchent en résolvant $f(x)=k$ .
Un nombre n’a qu’une seule image, mais peut avoir plusieurs antécédents : une courbe est coupée au plus une fois par une verticale, mais peut l’être plusieurs fois par une horizontale.
$f$ désigne la fonction, $f(x)$ un nombre et $\Cf$ une courbe : ces trois objets ne s’écrivent pas l’un pour l’autre.
L’ensemble de définition se détermine avant tout calcul, et une lecture graphique ne vaut que sur l’intervalle où la courbe est tracée.
Pour résoudre $f(x)\leq k$ , on lit des abscisses, pas des ordonnées, et la réponse s’écrit sous forme d’intervalles.

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